VIDEREGÅENDE · DEL 1
Del 1 i matte: øv uten kalkulator i faget ditt
Velg faget ditt og løs fire oppgaver med skrivesaker og linjal. Oppgavene kan regnes for hånd. Vis mellomregning, og behold eksakte svar som brøk, rot eller logaritme når det passer.
Slik øver du
- Åpne oppgavearket for faget ditt. Skriv ut i A4, eller les oppgavene her og legg bort skjermen mens du løser.
- Bruk skrivesaker og linjal. Prøv uten kalkulator, notatark og lærebok. Tiden nedenfor er bare et forslag til egen øving.
- Åpne én løsning om gangen etter eget forsøk. Bruk egenkontrollen og repetisjonslenken til å velge neste steg.
Kontroller gjeldende hjelpemiddelregler og fagkode. Når du vil trene med papirhjelpemidler og enkel vitenskapelig kalkulator: gå til blandede Del 2-økter. I 1P-Y kan du også velge utdanningsprogram.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Del 1-økt i 1P
4 oppgaver · foreslått arbeidstid 25–40 minutter, tilpass selv.
Skrivesaker og linjal. Ingen kalkulator eller notater.
Fagkode(r): MAT1019.
Åpne oppgaveark (PDF) – 1P A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Før og etter rabatt
En vare koster 600 kr etter 25 % rabatt. Finn prisen før rabatten. Forklar hvorfor du ikke kan legge 25 % til 600.
Vis løsning – oppgave 1
600 kr er 75 % av opprinnelig pris. 600/3 = 200 kr tilsvarer 25 %, så førprisen er 800 kr. Kontroll: 800 − 200 = 600. 25 % av 600 er bare 150; prosentgrunnlaget har endret seg.
Egenkontroll: Jeg finner prosentgrunnlaget før jeg regner baklengs.
2. Likning og enhet
Prisen for å leie utstyr er P = 80 + 40t kroner, med t i timer. Hvor lenge kan du leie for 240 kr? Hva betyr tallene 80 og 40?
Vis løsning – oppgave 2
80 + 40t = 240 gir 40t = 160 og t = 4 timer. 80 kr er fastbeløpet, og 40 kr/time er prisen per time. Kontroll: 80 + 40 · 4 = 240.
Egenkontroll: Jeg viser likningen og forklarer begge leddene.
3. Forhold og fart
En syklist tilbakelegger 12 km på 40 minutter med jevn fart. Finn farten i km/time og tiden for 9 km med samme fart.
Vis løsning – oppgave 3
40 minutter er 2/3 time. Farten er 12/(2/3) = 18 km/time. 9 km er halvparten av 18 km og tar 30 minutter. Jevn fart er en forutsetning.
Egenkontroll: Jeg gjør minutter om til timer og kontrollerer forholdet.
4. Spor en vekstmodell
Forklar løkken og finn utskriften for hånd.
verdi = 100
for aar in range(3):
verdi = verdi + 20
print(verdi)Vis løsning – oppgave 4
Verdiene blir 120, 140 og 160. Utskriften er 160. Dette er tre like tillegg på 20, altså lineær vekst. Det er ikke 20 % vekst; prosentvekst ville krevd multiplikasjon med 1,20.
Egenkontroll: Jeg teller gjennomløp og skiller fast tillegg fra prosent.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Del 1-økt i 1P-Y
4 oppgaver · foreslått arbeidstid 25–40 minutter, tilpass selv.
Skrivesaker og linjal. Ingen kalkulator eller notater.
Fagkode(r): MAT1111, MAT1113, MAT1115, MAT1117, MAT1119, MAT1121, MAT1123, MAT1125, MAT1127 og MAT1129.
Felles grunnmetoder for 1P-Y. Velg også utdanningsprogram i yrkesfagguiden.
Åpne oppgaveark (PDF) – 1P-Y A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Fra tegning til virkelighet
En tegning har målestokk 1:20. En rektangulær plate er 6 cm lang og 4 cm bred på tegningen. Finn virkelig lengde, bredde og areal i m².
Vis løsning – oppgave 1
Lengden er 120 cm = 1,2 m og bredden 80 cm = 0,8 m. Arealet er 1,2 · 0,8 = 0,96 m². Lengder ganges med 20; arealet ganges med 20².
Egenkontroll: Jeg bruker samme lengdeenhet før jeg beregner areal.
2. Blandingsforhold
To farger blandes i volumforholdet A:B = 2:3. Du trenger 5 dl blanding. Hvor mye av hver farge? Hvor mye B trengs hvis du i stedet bruker 4 dl A?
Vis løsning – oppgave 2
Fem deler gir én dl per del: 2 dl A og 3 dl B. Med 4 dl A er hver del 2 dl, så det trengs 6 dl B. Forholdet gjelder delene, ikke A som andel av B.
Egenkontroll: Jeg skiller forholdet 2:3 fra andelen 2/5 av totalen.
3. Pris for arbeid og materiell
En oppdiktet jobb krever 1,5 timer à 400 kr og materiell til 250 kr. Materiellet får 20 % rabatt. Finn totalen. Beløpene har samme avgiftsgrunnlag.
Vis løsning – oppgave 3
Arbeidet koster 600 kr. Rabatten er 50 kr, så materiellet koster 200 kr. Totalen er 800 kr. Arbeidsprisen får ingen rabatt.
Egenkontroll: Jeg bruker rabatten bare på materiellet.
4. Snu en formel
Volumet av en rett prismeformet beholder er V = G · h. Grunnflatearealet er 0,5 m², og volumet er 0,75 m³. Skriv en formel for h og finn høyden.
Vis løsning – oppgave 4
Del begge sider på G: h = V/G. Da er h = 0,75/0,5 = 1,5 m. Enheten blir m³/m² = m. Kontroll: 0,5 · 1,5 = 0,75.
Egenkontroll: Jeg løser formelen før innsetting og kontrollerer enheten.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Del 1-økt i 2P
4 oppgaver · foreslått arbeidstid 25–40 minutter, tilpass selv.
Skrivesaker og linjal. Ingen kalkulator eller notater.
Fagkode(r): MAT1023.
Åpne oppgaveark (PDF) – 2P A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Sentralmål og en ny observasjon
Tallene er 2, 3, 3, 4 og 8. Finn median og gjennomsnitt. Hva blir begge målene hvis en ny observasjon med verdi 10 legges til?
Vis løsning – oppgave 1
Før: median 3, gjennomsnitt 20/5 = 4. Etter: median (3 + 4)/2 = 3,5, gjennomsnitt 30/6 = 5. Begge midtverdiene må med når antallet er partall.
Egenkontroll: Jeg sorterer og bruker riktig antall observasjoner.
2. Gjennomsnitt av to grupper
Ti elever har gjennomsnitt 4 bøker. Tjue andre har gjennomsnitt 1 bok. Finn gjennomsnittet for alle 30. Forklar hvorfor (4 + 1)/2 er feil her.
Vis løsning – oppgave 2
Samlet antall er 10 · 4 + 20 · 1 = 60. Gjennomsnittet er 60/30 = 2 bøker. Gruppene har ulik størrelse og skal ikke gis lik vekt.
Egenkontroll: Jeg veier gruppene med antall elever.
3. Prosent eller prosentpoeng?
En andel øker fra 20 % til 30 %. Oppgi økningen i prosentpoeng og den relative prosentøkningen.
Vis løsning – oppgave 3
Økningen er 10 prosentpoeng. Relativt til startandelen er økningen 10/20 = 1/2 = 50 %. Tallene svarer på ulike spørsmål.
Egenkontroll: Jeg bruker startandelen som nevner for relativ endring.
4. Finn en lineær modell
En rett linje går gjennom (0, 50) og (4, 130). Finn funksjonsuttrykket og x når funksjonsverdien er 210. Forklar hva stigningstallet betyr.
Vis løsning – oppgave 4
Stigningstallet er (130 − 50)/(4 − 0) = 20. f(x) = 50 + 20x. 50 + 20x = 210 gir x = 8. Funksjonsverdien øker med 20 når x øker med 1.
Egenkontroll: Jeg bruker endring i y delt på endring i x.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Del 1-økt i 2P-Y
4 oppgaver · foreslått arbeidstid 25–40 minutter, tilpass selv.
Skrivesaker og linjal. Ingen kalkulator eller notater.
Fagkode(r): MAT1151.
Åpne oppgaveark (PDF) – 2P-Y A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Frekvenser på papir
Antall forsinkelser per uke er registrert slik: 0 i to uker, 1 i fire uker og 2 i to uker. Finn gjennomsnittet og andelen uker med minst én forsinkelse.
Vis løsning – oppgave 1
Åtte uker har til sammen 0 · 2 + 1 · 4 + 2 · 2 = 8 forsinkelser. Gjennomsnittet er 1 per uke. Seks av åtte uker har minst én: 75 %.
Egenkontroll: Jeg teller uker, ikke forsinkelser, i prosentandelen.
2. Avdrag, rente og gjeld
En forenklet månedsbetaling består av 1000 kr avdrag og 1 % rente av en gjeld på 20 000 kr. Det er ikke gebyr. Finn betalingen og gjelden etter betalingen.
Vis løsning – oppgave 2
Renten er 200 kr. Betalingen er 1200 kr. Bare avdraget reduserer gjelden, som blir 19 000 kr. Dette er en regnemodell.
Egenkontroll: Jeg holder rentekostnaden adskilt fra nedbetaling av gjeld.
3. To prisendringer
En pris på 800 kr øker med 25 % og settes deretter ned med 20 %. Finn sluttprisen. Er like prosenttall nødvendig for å komme tilbake til start?
Vis løsning – oppgave 3
800 · 5/4 = 1000 og 1000 · 4/5 = 800 kr. Faktorene 1,25 og 0,80 har produkt 1. Prosentene er ulike, men endringene opphever hverandre fordi grunnlaget endres.
Egenkontroll: Jeg sammenligner vekstfaktorene, ikke bare prosenttallene.
4. Skriv modellen og finn grensen
En beholder har 90 liter ved start og tømmes jevnt med 6 liter per minutt. Skriv V(t), finn når den er tom, og oppgi når modellen gir fysisk mening.
Vis løsning – oppgave 4
V(t) = 90 − 6t. V = 0 gir t = 15 minutter. Modellen gjelder for 0 ≤ t ≤ 15. Negative volum etterpå beskriver ikke beholderen.
Egenkontroll: Jeg oppgir modellens tidsintervall.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Del 1-økt i 1T
4 oppgaver · foreslått arbeidstid 25–40 minutter, tilpass selv.
Skrivesaker og linjal. Ingen kalkulator eller notater.
Fagkode(r): MAT1021.
Åpne oppgaveark (PDF) – 1T A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Forkort med forbehold
Forenkle (x² − 9)/(x − 3). Hvilken x-verdi må utelukkes, og hvorfor kan ikke det forenklede uttrykket oppheve denne begrensningen?
Vis løsning – oppgave 1
x² − 9 = (x − 3)(x + 3), så uttrykket er x + 3 for x ≠ 3. Det opprinnelige uttrykket har nevner null ved x = 3. Forkorting gjør ikke det opprinnelige uttrykket definert der.
Egenkontroll: Jeg tar med definisjonsbegrensningen.
2. Nullpunkter og fortegn
Løs x² − 5x + 6 = 0. Løs også ulikheten x² − 5x + 6 < 0. Begrunn intervallet.
Vis løsning – oppgave 2
(x − 2)(x − 3) = 0 gir x = 2 eller x = 3. Faktorene har ulikt fortegn mellom røttene, så ulikheten gir 2 < x < 3. Endepunktene er ikke med.
Egenkontroll: Jeg bruker fortegn og skiller likning fra ulikhet.
3. Tangent uten kalkulator
La f(x) = x² + 2x. Finn den deriverte og tangenten ved x = 1. Kontroller at tangenten går gjennom riktig punkt.
Vis løsning – oppgave 3
f′(x) = 2x + 2, f′(1) = 4 og f(1) = 3. y − 3 = 4(x − 1) gir y = 4x − 1. Ved x = 1 gir linjen y = 3.
Egenkontroll: Jeg bruker både funksjonsverdi og stigning.
4. Eksakte trigonometriske verdier
En rettvinklet trekant har hypotenus 10 cm og en vinkel på 30°. Finn katetene og arealet eksakt. Du kan bruke sin 30° = 1/2 og cos 30° = √3/2.
Vis løsning – oppgave 4
Motstående katet er 5 cm, hosliggende er 5√3 cm. Arealet er ½ · 5 · 5√3 = 25√3/2 cm². √3 beholdes eksakt.
Egenkontroll: Jeg plasserer katetene i forhold til vinkelen og bruker kvadratenhet.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Del 1-økt i R1
4 oppgaver · foreslått arbeidstid 25–40 minutter, tilpass selv.
Skrivesaker og linjal. Ingen kalkulator eller notater.
Fagkode(r): REA3056.
Åpne oppgaveark (PDF) – R1 A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Logaritmer og gyldige løsninger
Løs ln(x − 1) + ln(x + 1) = ln 8. Oppgi definisjonsområdet før du løser.
Vis løsning – oppgave 1
Begge argumentene må være positive: x > 1. ln((x − 1)(x + 1)) = ln 8 gir x² − 1 = 8 og x = ±3. Bare x = 3 er i definisjonsområdet.
Egenkontroll: Jeg kontrollerer løsningen i de opprinnelige logaritmene.
2. Grenseverdi og hull
Finn grensen til (x² − 4)/(x − 2) når x går mot 2. Forklar forskjellen mellom grenseverdien og funksjonsverdien ved 2.
Vis løsning – oppgave 2
For x ≠ 2 er uttrykket x + 2, så grensen er 4. Uttrykket er udefinert ved 2. En grense beskriver verdiene nær punktet og krever ikke at funksjonen er definert i punktet.
Egenkontroll: Jeg skiller en grense fra innsetting i en nullnevner.
3. Kjerneregel og tangent
La f(x) = e2x. Finn f′(x) og tangenten ved x = 0.
Vis løsning – oppgave 3
f′(x) = 2e2x ved kjerneregelen. f(0) = 1 og f′(0) = 2, så y = 2x + 1. Faktoren 2 kommer fra den deriverte av kjernen 2x.
Egenkontroll: Jeg får med den deriverte av kjernen.
4. Vinkelrette vektorer
Vektorene u = (2, −1) og v = (a, 4) skal være vinkelrette. Finn a og lengden av v med denne verdien.
Vis løsning – oppgave 4
Skalarproduktet er 2a − 4. Vinkelretthet gir 2a − 4 = 0, altså a = 2. Da er |v| = √(4 + 16) = 2√5.
Egenkontroll: Jeg bruker skalarproduktet for vinkelretthet og lengdeformelen etterpå.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Del 1-økt i S1
4 oppgaver · foreslått arbeidstid 25–40 minutter, tilpass selv.
Skrivesaker og linjal. Ingen kalkulator eller notater.
Fagkode(r): REA3060.
Åpne oppgaveark (PDF) – S1 A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Eksponentiallikning
Løs 3e2x = 12 eksakt. Vis hvordan svaret kan skrives både med ln 4 og ln 2.
Vis løsning – oppgave 1
e2x = 4 gir 2x = ln 4. Dermed er x = (ln 4)/2 = ln 2, siden ln(2²) = 2 ln 2.
Egenkontroll: Jeg isolerer eksponentialuttrykket før jeg tar logaritmen.
2. To trekk uten tilbakelegging
En pose har tre røde og to blå brikker. To brikker trekkes tilfeldig uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for én av hver farge.
Vis løsning – oppgave 2
Rød–blå gir (3/5)(2/4) = 3/10. Blå–rød gir (2/5)(3/4) = 3/10. Summen er 3/5. Vi må telle begge rekkefølgene, og andre trekk har fire muligheter.
Egenkontroll: Jeg tar med begge rekkefølger og endrer nevneren.
3. Derivasjon av et produkt
La f(x) = xex. Finn f′(x), og avgjør hvor f er avtakende og voksende.
Vis løsning – oppgave 3
Produktregelen gir f′(x) = ex(1 + x). ex er alltid positiv. f er avtakende for x < −1 og voksende for x > −1. Ved −1 er den deriverte null, og f har bunnpunkt.
Egenkontroll: Jeg bruker produktregelen og fortegnet til begge faktorene.
4. Få delene til å møtes
f(x) = x + 2 når x ≤ 1, og f(x) = ax + 1 når x > 1. Finn a som gjør funksjonen kontinuerlig ved 1. Blir funksjonen også deriverbar der?
Vis løsning – oppgave 4
f(1) = 3, og høyregrensen er a + 1. Kontinuitet krever a = 2. Venstresidens stigning er 1, høyresidens er 2. Funksjonen er derfor ikke deriverbar ved 1.
Egenkontroll: Jeg undersøker kontinuitet og deriverbarhet hver for seg.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Del 1-økt i S2
4 oppgaver · foreslått arbeidstid 25–40 minutter, tilpass selv.
Skrivesaker og linjal. Ingen kalkulator eller notater.
Fagkode(r): REA3062.
Åpne oppgaveark (PDF) – S2 A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Geometrisk sum
En geometrisk følge har første ledd 3 og kvotient 2. Finn de fire første leddene og summen av dem. Forklar forskjellen på a₄ og S₄.
Vis løsning – oppgave 1
Leddene er 3, 6, 12 og 24. Summen er S₄ = 45, mens a₄ = 24 er bare siste ledd. Alternativt: 3(2⁴ − 1)/(2 − 1) = 45.
Egenkontroll: Jeg skiller ledd fra delsum.
2. Integral som samlet endring
En forenklet modell har endringsrate r(t) = 2t + 2 enheter per time for 0 ≤ t ≤ 2. Finn samlet endring og gjennomsnittlig endringsrate i intervallet.
Vis løsning – oppgave 2
En antiderivert er t² + 2t. Samlet endring er (4 + 4) − 0 = 8 enheter. Gjennomsnittlig rate er 8/2 = 4 enheter per time.
Egenkontroll: Jeg skiller samlet endring fra rate og bruker riktige enheter.
3. Sum av uavhengige størrelser
X og Y er uavhengige. E(X) = 2, E(Y) = 5, Var(X) = 1 og Var(Y) = 3. Finn forventning, varians og standardavvik til X + Y.
Vis løsning – oppgave 3
E(X + Y) = 7. Uavhengighet gir Var(X + Y) = 4, så standardavviket er 2. Standardavvikene skal ikke legges sammen. Forventningsregelen krever ikke uavhengighet, men variansregelen her gjør det.
Egenkontroll: Jeg legger sammen varianser før jeg tar kvadratroten.
4. En normaltest for hånd
Uavhengige målinger er normalfordelte med kjent standardavvik 6. Et tilfeldig utvalg på 9 gir gjennomsnitt 14. Test H₀: μ = 10 mot H₁: μ > 10 på 5 %-nivå. Bruk Φ(2) = 0,9772. Finn standardfeil, z og p-verdi.
Vis løsning – oppgave 4
Standardfeilen er 6/√9 = 2. z = (14 − 10)/2 = 2. Øvre hale gir p = 1 − 0,9772 = 0,0228. Vi forkaster H₀ på 5 %-nivå; dataene støtter μ > 10 under forutsetningene. Dette er ikke et bevis eller sannsynligheten for at H₀ er sann.
Egenkontroll: Jeg bruker standardfeilen og riktig hale.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Del 1-økt i R2
4 oppgaver · foreslått arbeidstid 25–40 minutter, tilpass selv.
Skrivesaker og linjal. Ingen kalkulator eller notater.
Fagkode(r): REA3058.
Åpne oppgaveark (PDF) – R2 A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Trigonometrisk likning
Løs sin x = 1/2 for 0 ≤ x ≤ 2π. Bruk radianer og forklar hvorfor det er to løsninger.
Vis løsning – oppgave 1
Sinus er 1/2 ved x = π/6 og x = 5π/6. Sinus har samme positive verdi i første og andre kvadrant; de øvrige kvadrantene gir negative verdier.
Egenkontroll: Jeg finner begge løsningene i intervallet.
2. Integral og areal
Finn integralet av f(x) = 2x − 2 fra 0 til 2. Finn også arealet mellom grafen og x-aksen i intervallet. Forklar forskjellen.
Vis løsning – oppgave 2
En antiderivert er x² − 2x, så integralet er 0. Grafen krysser aksen ved 1. Hver av de to trekantene har grunnlinje 1 og høyde 2, så arealet er 2. Integralet regner området under aksen med negativt fortegn.
Egenkontroll: Jeg skiller fortegnet integral fra geometrisk areal.
3. Uendelig geometrisk rekke
Rekken er 6 + 2 + 2/3 + … . Finn kvotienten og summen, og begrunn at rekken konvergerer.
Vis løsning – oppgave 3
Kvotienten er 1/3. Siden |1/3| < 1, konvergerer rekken med sum 6/(1 − 1/3) = 9. Leddene nærmer seg null, mens delsummene nærmer seg 9.
Egenkontroll: Jeg bruker kriteriet for geometriske rekker og skiller ledd fra sum.
4. Et plan i rommet
Et plan går gjennom A = (1, 0, 0) og har normalvektor n = (2, −1, 2). Finn en likning for planet og avstanden fra P = (0, 0, 0) til planet.
Vis løsning – oppgave 4
Normalvektoren gir 2(x − 1) − y + 2z = 0, altså 2x − y + 2z − 2 = 0. Avstanden er |−2|/√(4 + 1 + 4) = 2/3. A oppfyller planlikningen.
Egenkontroll: Jeg får med konstantleddet og deler på normalvektorens lengde.
Kilder og oppdatering
Hjelpemiddelregler og læreplaner er kontrollert 16. oktober 2026. Alle oppgaver og løsninger er laget av Basic Matte. Historisk fagmateriale bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz.