R2 · INTEGRASJON
Omdreiningslegemer i R2: fra radius til volum
Start med det som roteres: et fylt område, en hul beholder eller bare en kurve. Først da kan du velge riktig radius og integral.
Hva viser Udirs eksempelsett?
I REA3058 (R2), oppgave 4 på side 8–9, knyttes en sinusprofil til en vase, minste omkrets og valg av funksjonsuttrykk. Oppgave 8 på side 14 ber om volumet av et omdreiningslegeme med en eksponentialfunksjon i profilen. Vi kombinerer disse ferdighetene i egne modeller nedenfor. Finn originalsettet i Udirs katalog, og les også innledningen. Se felles regler om hjelpemidler.
Radius i andre, deretter integral
Når hele området mellom en ikke-negativ radiusfunksjon r(x) og x-aksen på [a,b] roteres om x-aksen, blir volumet V = π∫ab r(x)² dx. En tynn skive har areal πr² og tykkelse dx. Med centimeter langs begge akser blir volumet cm³; 1000 cm³ er én liter.
Rotasjon av bare grafkurven beskriver en flate. Integralet her beregner volumet innenfor den. For kapasitet må r være innvendig radius. Én ytre profil er ikke nok til å beregne en vases veggtykkelse eller materialmengde.
1. En innvendig sinusprofil
En idealisert beholder har innvendig radius r(x) = 3 + cos(πx/6) cm for 0 ≤ x ≤ 12 cm. Koordinaten x måles langs beholderens akse. Finn minste innvendige omkrets og kapasiteten. Bruk cos² u = (1 + cos 2u)/2 og radianer.
Vis løsning og forklaring
Radiusen varierer mellom 2 og 4 cm. Minst radius er 2 ved x = 6. Minste omkrets er 2π · 2 = 4π ≈ 12,57 cm.
Kvadrer hele uttrykket: r² = 9 + 6cos(πx/6) + cos²(πx/6). Intervallet dekker én hel periode. Cosinusleddet integrerer til 0, mens cos²-leddet integrerer til 12/2 = 6.
Dermed er V = π(108 + 0 + 6) = 114π ≈ 358,14 cm³ ≈ 0,358 liter. Kontroll: radiusen ligger mellom 2 og 4, så volumet må ligge mellom 48π og 192π cm³. Vi beregner kapasiteten i det oppgitte hulrommet, ikke materialet i veggene.
2. Kvadrer før du integrerer
Området mellom f(x) = 3√x · e−x/2 og x-aksen, for 0 ≤ x ≤ 2, roteres om x-aksen. Alle koordinater er i cm. Finn volumet eksakt og tilnærmet. Vis en antiderivert og kontroller den ved derivasjon.
Vis løsning og forklaring
Radiusen er ikke-negativ, og f(x)² = 9x e−x. Bruk delvis integrasjon på ∫xe−xdx med u = x og v′ = e−x. Da er v = −e−x, og integralet blir −xe−x − e−x + C.
En antiderivert er altså F(x) = −(x + 1)e−x. Derivasjon gir F′ = −e−x + (x + 1)e−x = xe−x.
V = 9π(F(2) − F(0)) = 9π(1 − 3e−2) ≈ 16,79 cm³. Å integrere f uten kvadratet gir et annet mål. Husk også at både faktoren 3, roten og eksponentialleddet skal kvadreres.
3. Kapasitet eller materiale?
Et rett rør har lengde 10 cm, innvendig radius 3 cm og utvendig radius 4 cm. Endene er åpne; ingen bunn eller endeskiver er med. Finn hulromsvolum og materialvolum. Hvorfor er π(4 − 3)² · 10 feil for materialet?
Vis løsning og forklaring
Hulrommet har volum π · 3² · 10 = 90π cm³. Materialet har ringformet tverrsnitt, så V = π(4² − 3²) · 10 = 70π cm³.
Det er sirkelarealene som skal trekkes fra hverandre, ikke radiene før kvadrering. Generelt er materialvolumet π∫(R² − r²)dx når 0 ≤ r ≤ R. Sum av hulrom og materiale er 160π cm³, som stemmer med volumet innenfor ytterflaten.
Øv videre på skiver og hulrom i R2 · Repeter sinusmodeller og radianer · Fortsett med kuleflater og tangentplan.
Kilder og oppdatering
Udirs eksempelsett ble hentet 16. oktober 2026. Oppgavenumre og relevante figurer er kontrollert i originalene. Modellene, illustrasjonene og løsningene her er Basic Mattes egne øvelser, ikke Udirs oppgaver eller offisielle løsningsforslag. Historisk fagmateriale bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz.