R2 · MODELLER OG INTEGRASJON
Trigonometriske modeller i R2: fra graf til integral
En sinusmodell beskriver en svingning. I R2 skal du også kunne forklare når størrelsen øker raskest, og hva et integral av modellen betyr.
Hva viser Udirs eksempelsett?
I REA3058 (R2), oppgave 1 på side 5, kobles måledata til en trigonometrisk modell for datatrafikk. Eleven skal vurdere modellen, løse en ulikhet, finne størst økning og beregne samlet datamengde. Det er denne sammenhengen vi trener på her. Finn originalsettet i Udirs katalog, og les også innledningen. Se felles regler om hjelpemidler.
Les parametrene før du regner
En nyttig form er f(t) = d + A sin(k(t − c)), der A > 0 og k > 0. Midtlinjen er d, amplituden er A, perioden er T = 2π/k, og c er forskyvningen mot høyre. Ved t = c passerer kurven midtlinjen på vei opp. I den mer generelle formen med negativ A eller k er amplituden |A| og perioden 2π/|k|, for k ≠ 0 og A ≠ 0. Hvis A eller k er null, er modellen konstant.
Hvis modellen står som d + A sin(kt + b), er forskyvningen c = −b/k, ikke bare −b. Flere forskyvninger med en hel periodes forskjell gir samme kurve. Bruk radianmodus (RAD) i disse beregningene: π radianer er 180°. Standardformlene for den deriverte av sinus og cosinus forutsetter radianer.
En egen modell for tilførsel av vann
En pumpe tilfører vann med varierende hastighet. I en forenklet modell er tilførselen
q(t) = 50 + 20 sin((π/6)(t − 2)), for 0 ≤ t ≤ 12.
Her er t timer etter start, og q(t) måles i liter per time. Vi undersøker bare hvor mye pumpen tilfører; modellen sier ikke hvor mye som allerede er i en beholder eller hvor mye som tappes ut. Illustrasjonen øverst viser denne modellen.
1. Finn en skisse fra modellen
Finn midtlinje, amplitude, periode, største og minste tilførsel. Når nås toppen og bunnen i intervallet? Tegn en skisse med nummererte akser og enheter.
Vis løsning og forklaring
Midtlinjen er 50 liter/time, amplituden 20 liter/time, og perioden 2π/(π/6) = 12 timer. Største verdi er 70 og minste er 30 liter/time.
Ved t = 2 er vinkelen 0, og kurven passerer midtlinjen på vei opp. En kvart periode senere, ved t = 5, er tilførselen størst. Ved t = 11 er den minst.
| t (timer) | q(t) (liter/time) |
|---|---|
| 0 | ≈ 32,68 |
| 2 | 50 |
| 5 | 70 |
| 8 | 50 |
| 11 | 30 |
| 12 | ≈ 32,68 |
Forbind punktene med en jevn sinuskurve. Siden vi tegner tilførsel per time, skal y-aksen ikke merkes bare «liter». I utvidet form er vinkelen (π/6)t − π/3; tidsforskyvningen er fortsatt 2 timer.
2. Når er tilførselen større enn 60 liter per time?
Løs q(t) > 60 for 0 ≤ t ≤ 12. Vis begge grensepunktene, og forklar hvorfor de ikke skal være med i svaret.
Vis løsning og forklaring
Flytt 50 og del på 20: sin((π/6)(t − 2)) > 1/2. Sinus er større enn 1/2 mellom vinklene π/6 og 5π/6, med tillegg av hele runder 2πn.
Likhetsgrensene gir t = 3 + 12n og t = 7 + 12n. I tidsintervallet vårt får vi derfor 3 < t < 7 timer. Det er fire timer til sammen. Ved t = 3 og t = 7 er tilførselen nøyaktig 60, så endepunktene tas ikke med.
Kontroller med t = 5: q(5) = 70 > 60. Å bruke bare arcsin(1/2) gir bare det første grensepunktet og mister den andre siden av toppen.
3. Størst verdi eller størst økning?
Finn q′(t). Når øker tilførselen raskest i intervallet, og hvor stor er økningen da? Sammenlign med tidspunktet da selve tilførselen er størst.
Vis løsning og forklaring
Kjerneregelen gir q′(t) = (10π/3) cos((π/6)(t − 2)). Den indre deriverte π/6 skal være med.
Cosinus har største verdi 1. Det skjer når (π/6)(t − 2) = 2πn. I intervallet 0 ≤ t ≤ 12 får vi t = 2. Største økning er 10π/3 ≈ 10,47 liter/time²: tilførselen øker da med omtrent 10,47 liter per time for hver time, målt som momentan vekstfart.
Selve tilførselen er størst ved t = 5, men da er q′(5) = 0. Toppen av q og toppen av q′ svarer på forskjellige spørsmål. «Øker raskest» betyr størst positiv derivert; «endrer seg raskest» kan også kreve at vi vurderer |q′| og rask nedgang.
4. Hvor mange liter tilføres fra time 2 til time 8?
Bruk et bestemt integral. Finn også gjennomsnittlig tilførsel per time i dette tidsrommet. Begrunn enheten og kontroller om svaret er rimelig.
Vis løsning og forklaring
En antiderivert er Q(t) = 50t − (120/π) cos((π/6)(t − 2)). Vi deler på π/6 når vi integrerer sinusleddet. Deriver Q for å kontrollere at Q′ = q.
Mengden er Q(8) − Q(2) = 300 + 240/π ≈ 376,39 liter. Enheten følger av (liter/time) · timer = liter. Et bestemt integral av tilførselen gir mengden som tilføres, ikke endringen i tilførselshastighet.
Gjennomsnittlig tilførsel er mengden delt på varigheten: (300 + 240/π)/6 = 50 + 40/π ≈ 62,73 liter/time.
I hele tidsrommet er tilførselen mellom 50 og 70 liter/time. Mengden må derfor ligge mellom 6 · 50 = 300 og 6 · 70 = 420 liter. Svaret passer. At q(2) = q(8) = 50, betyr ikke at gjennomsnittet mellom dem er 50; kurven ligger over midtlinjen mellom disse tidene.
Tre størrelser å holde fra hverandre
| Størrelse | Metode | Enhet her |
|---|---|---|
| Tilførsel ved ett tidspunkt | q(t) | liter/time |
| Økning i tilførselen | q′(t) | liter/time² |
| Tilført mengde i et tidsrom | Bestemt integral av q | liter |
Pass alltid på modellens tidsintervall. I denne modellen er q positiv, så integralet er også arealet under grafen. For en størrelse som kan være negativ, er integralet en nettoverdi; total mengde kan da kreve at delene behandles hver for seg.
Repeter radianer og trigonometriske funksjoner · Prøv «Arealet under kurven» i Numeriske metoder · Øv videre på rekker og rekursjon i R2/S2.
Kilder og oppdatering
Kildehenvisningene gjelder Udirs eksempelsett hentet 16. oktober 2026. Oppgavenumre og sider er kontrollert i originalene. Våre modeller, illustrasjoner og øvelser er laget av Basic Matte og er ikke Udirs oppgaver eller offisielle løsningsforslag. Lenket historisk fagmateriale bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz.