R2 · ROMGEOMETRI
Romgeometri i R2: kuleflater, tangentplan og bevegelse
En figur hjelper deg å se rommet. Vektorer, avstander og normaler lar deg begrunne det du ser. Her trener du både på statisk geometri og på objekter som beveger seg.
Hva viser Udirs eksempelsett?
I REA3058 (R2), oppgave 6 på side 12, undersøkes avstand til en kuleflate, vinkel mellom linje og plan, tangentplan og en ny kuleflate. Oppgave 3 på side 7 handler om posisjon, banefart og om to objekter er i samme punkt samtidig. Vi bruker andre tall og egne situasjoner nedenfor. Finn originalsettet i Udirs katalog, og les også innledningen. Se felles regler om hjelpemidler.
Tre geometriske verktøy
| Spørsmål | Sammenheng |
|---|---|
| Kuleflate med sentrum S = (a, b, c) og radius R | (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² |
| Plan gjennom P = (x₀, y₀, z₀) med normal n = [A, B, C] ≠ 0 | A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 |
| Vinkel θ mellom linje og plan (0°–90°) | sin θ = |v · n| / (|v| |n|), der v er linjens retningsvektor ≠ 0 |
Normalen står vinkelrett på planet. Formelen for vinkelen mellom to vektorer bruker cosinus. Vinkelen mellom en linje og et plan er komplementær til den spisse vinkelen mellom retningen og normalen, og derfor bruker vi sinus her. Vinkelen θ ligger mellom 0° og 90°.
En kuleflate er bare overflaten. En massiv kule omfatter også innsiden. Fra et punkt Q til kuleflaten er minste avstand ||SQ| − R|. Fra Q til den massive kulen er avstanden null hvis Q ligger inni. Skill mellom disse spørsmålene.
Vår kuleflate
De fire første oppgavene bruker K: (x − 4)² + (y + 2)² + (z − 4)² = 9. Alle koordinater og radier måles i samme lengdeenhet. Illustrasjonen viser et snitt gjennom origo og sentrum; hele kuleflaten er tredimensjonal.
1. Finn sentrum, radius og korteste avstand
Finn sentrum S og radius R. Hvor langt er det fra origo O til kuleflaten? Hva ville avstanden vært fra sentrum til kuleflaten, og fra sentrum til den massive kulen?
Vis løsning og forklaring
Sentrum er S = (4, −2, 4) og radius R = 3. Pass på fortegnet i (y + 2)²: sentrum har y-koordinat −2.
Avstanden OS er √(4² + (−2)² + 4²) = √36 = 6. Origo ligger utenfor, så korteste vei til overflaten er 6 − 3 = 3. Det nærmeste punktet ligger halvveis fra O til S: (2, −1, 2). Setter vi inn dette punktet i kulelikningen, får vi 4 + 1 + 4 = 9.
Fra sentrum er avstanden til kuleflaten 3, men avstanden til den massive kulen er 0. Formelen |OS| − R alene blir negativ for et punkt inni og kan derfor ikke brukes som generell avstandsformel til overflaten.
2. Finn vinkelen mellom linjen OS og xy-planet
Sett opp en parameterframstilling for linjen, og finn vinkelen med xy-planet. Bruk grader i svaret.
Vis løsning og forklaring
En retningsvektor er v = [4, −2, 4]. Linjen kan skrives (x, y, z) = (4t, −2t, 4t), der t er en reell parameter. Planet z = 0 har normal n = [0, 0, 1].
Da er v · n = 4, |v| = 6 og |n| = 1. Vi får sin θ = 4/6 = 2/3, så θ = arcsin(2/3) ≈ 41,81°.
Kontroll: den loddrette komponenten har lengde 4, mens hele retningsvektoren har lengde 6. Vinkelen med normalen er omtrent 48,19°. Det er den andre vinkelen, ikke svaret på spørsmålet om planet. Bruk DEG når du beregner vinkelen direkte i grader.
3. Finn et tangentplan
Punktet P = (5, a, 6) ligger på kuleflaten, og a > −2. Finn a og likningen for planet som tangerer K i P. Begrunn valget av normalvektor.
Vis løsning og forklaring
Sett P inn i kulelikningen: 1 + (a + 2)² + 4 = 9. Dermed er (a + 2)² = 4, som gir a = 0 eller a = −4. Vilkåret a > −2 velger a = 0.
Radiusen fra sentrum til berøringspunktet står normalt på tangentplanet. Bruk SP = [1, 2, 2] som normal. Planet gjennom P = (5, 0, 6) blir (x − 5) + 2y + 2(z − 6) = 0, altså x + 2y + 2z = 17.
To kontroller: P oppfyller 5 + 0 + 12 = 17. Avstanden fra sentrum til planet er |4 − 4 + 8 − 17|/√(1² + 2² + 2²) = 9/3 = 3, lik radiusen. Planets normal trenger ikke være en enhetsvektor.
4. To ulike måter kuler kan berøre hverandre på
En mindre, massiv kule har sentrum D = (4, −2, 5) og skal ligge helt inni kulen K. Hvor stor kan radius r være? Berøring er tillatt.
En annen massiv kule har sentrum E = (12, −2, 4) og skal ligge utenfor K, uten at innsidene overlapper. Finn største radius når berøring er tillatt. Hva endres dersom kulene ikke får ha noe felles punkt?
Vis løsning og forklaring
SD = 1. For at den mindre kulen skal være helt inni, må SD + r ≤ R. Dermed er r ≤ 3 − 1, og største radius er 2. Ved r = 2 berører overflatene hverandre innenfra.
SE = 8. Ved utvendig berøring er R + r = SE, og største tillatte radius er derfor 5. Mindre radier gir avstand mellom kulene.
Hvis de to utvendige kulene ikke får ha noe felles punkt, må r < 5. Da finnes ingen største radius: den kan komme så nær 5 som ønskelig, men ikke være 5.
For to kuleflater med sentrumsavstand d og radier R og r: ytre berøring gir d = R + r; indre berøring gir d = |R − r|. En skjæringssirkel krever |R − r| < d < R + r. Sammenfallende kuleflater (d = 0 og R = r) er et eget tilfelle. Avklar alltid om teksten handler om overflater, massive kuler og om berøring er tillatt.
Posisjon, fartsvektor og banefart
Når r(t) er en posisjonsvektor i meter og t er sekunder, er r′(t) fartsvektoren i meter per sekund. |r′(t)| er banefarten, et tall som aldri er negativt. |r(t)| er avstand fra origo og svarer på et annet spørsmål.
5. Krysser banene, eller møtes objektene?
En drone følger den forenklede banen r(t) = [3t, 4t, 12 − 2t] for 0 ≤ t ≤ 6. Bakken er xy-planet. Finn høyden etter to sekunder, landingstidspunktet og banefarten.
Samtidig starter en liten ballong i (9, 12, 10) og beveger seg rett ned med 1 m/s. Banene krysser hverandre i (9, 12, 6). Treffer de hverandre? Se bort fra objektenes størrelse.
Vis løsning og forklaring
Høyden er z(2) = 12 − 4 = 8 meter. Landing skjer når z(t) = 0, altså ved t = 6 sekunder.
Fartsvektoren er r′(t) = [3, 4, −2], og banefarten er √(9 + 16 + 4) = √29 ≈ 5,39 m/s. Banefarten er konstant her. Den negative z-komponenten betyr bevegelse nedover, ikke negativ banefart.
Dronen er ved kryssingspunktet ved t = 3. Ballongen har da høyde 10 − 3 = 7, ikke 6. Ballongen kommer til kryssingspunktet ved t = 4, men dronen er da i (12, 16, 4). De treffer ikke hverandre.
Lik x- og y-koordinat krever t = 3 for dronen, så det finnes ikke et annet mulig møtetidspunkt i intervallet. To bevegelsesbaner kan skjære hverandre uten kollisjon. Ved kollisjon må alle koordinatene være like ved samme fysiske tid.
Slik kontrollerer du en romløsning
Sett et funnet punkt inn i likningen. Kontroller at normalen er parallell med radiusvektoren til berøringspunktet. Sjekk at avstander og banefart er ikke-negative, og at vinkelen med et plan ligger mellom 0° og 90°. Tegn en enkel skisse, men la regningen begrunne svaret.
Repeter romvektorer og prøv kontrolloppgavene i appen · Øv videre på trigonometriske modeller i R2.
Kilder og oppdatering
Kildehenvisningene gjelder Udirs eksempelsett hentet 16. oktober 2026. Oppgavenumre og sider er kontrollert i originalene. Våre modeller, illustrasjoner og øvelser er laget av Basic Matte og er ikke Udirs oppgaver eller offisielle løsningsforslag. Lenket historisk fagmateriale bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz.