R1 OG S1 · FUNKSJONER
Delt forskrift: fra prisregel til kontinuitet
En regel kan endre seg ved en grense uten at funksjonsverdien hopper. Det er forskjellen mellom satsen og det samlede beløpet som ofte avgjør.
Hva viser Udirs eksempelsett?
I både REA3056 (R1) og REA3060 (S1), oppgave 4 på side 9, skal eleven oversette en beskrevet støtteordning til delt forskrift og begrunne kontinuitet. Her bruker vi en egen, oppdiktet leiepris, slik at vi kan trene på matematikken uten å blande inn gjeldende støtte- eller strømregler. Finn originalsettet i Udirs katalog, og les også innledningen. Se felles regler om hjelpemidler.
Skriv både uttrykk og intervall
En stykkevis definert funksjon har ett uttrykk for hvert intervall. Hvert tall i definisjonsområdet skal få nøyaktig én funksjonsverdi. Kontinuitet ved et indre skjøtepunkt krever at venstregrensen, høyregrensen og funksjonsverdien er samme tall.
I R1 kan du også undersøke deriverbarhet: en sammenhengende graf kan ha en knekk. Da er de ensidige stigningene forskjellige, og vanlig derivert finnes ikke i punktet.
1. Bygg en prisfunksjon fra tekst
Utstyr kan leies i inntil seks timer. Prisen er 40 kr per time for de første to timene, deretter 25 kr per ekstra time. Det betales proporsjonalt med tiden, også deler av en time. La P(t) være samlet pris. Skriv forskriften, finn P(3), og finn tiden som gir en pris på 130 kr.
Vis løsning og forklaring
| Intervall (timer) | P(t) i kroner |
|---|---|
| 0 ≤ t ≤ 2 | 40t |
| 2 < t ≤ 6 | 80 + 25(t − 2) = 25t + 30 |
Etter to timer er allerede 80 kr opptjent. Bare de ekstra timene prises med 25 kr. P(3) = 105 kr. For 130 kr: 80 + 25(t − 2) = 130 gir t = 4 timer, som ligger i riktig intervall.
2. Knekk eller hopp?
Undersøk kontinuiteten til P ved t = 2. R1: er P deriverbar der? Sammenlign med en annen prisregel Q(t) = 40t for 0 ≤ t ≤ 2 og Q(t) = 25t for 2 < t ≤ 6. Hva innebærer den andre regelen?
Vis løsning og forklaring
P(2) og venstregrensen er 80. Høyregrensen er 80 + 25(2 − 2) = 80. P er kontinuerlig. Stigningen er 40 fra venstre og 25 fra høyre; P har en knekk og er ikke deriverbar ved 2.
For Q er verdien ved 2 fortsatt 80, men høyregrensen er 25 · 2 = 50. Det er et hopp nedover på 30 kr. Denne regelen gir den lavere satsen på alle timene så snart leien passerer to timer. Den beskriver derfor en annen avtale. Marker punktet (2,80) fylt og (2,50) åpent i skissen av Q.
3. R1: velg parametrene i skjøten
La f(x) = x² for x ≤ 1 og f(x) = ax + b for x > 1. Finn alle a og b som gir kontinuitet ved 1. Hvilket valg gjør også funksjonen deriverbar?
Vis løsning og forklaring
Venstregrensen og f(1) er 1. Kontinuitet krever a + b = 1, altså b = 1 − a. Det finnes uendelig mange slike par.
Venstrederivert er 2, mens høyrederivert er a. For en deriverbar skjøt må a = 2 og b = −1. Vi trenger både lik funksjonsverdi i skjøten og lik stigning; å kontrollere bare stigningen er ikke nok.
Utforsk kontinuitet og deriverbarhet i R1 · Sammenlign hele prisfunksjoner · Øv videre på tangenter.
Kilder og oppdatering
Udirs eksempelsett ble hentet 16. oktober 2026. Oppgavenumre og relevante figurer er kontrollert i originalene. Modellene, illustrasjonene og løsningene her er Basic Mattes egne øvelser, ikke Udirs oppgaver eller offisielle løsningsforslag. Historisk fagmateriale bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz.