1T OG R1 · DERIVASJON
Derivasjon og tangenter: fra vekstfart til terrassepunkt
En derivert forteller om stigning. Et punkt, en tangentlinje og et ekstremalpunkt er forskjellige svar – selv om alle kan kreve derivasjon.
Hva viser Udirs eksempelsett?
I MAT1021 (1T), oppgave 5–8 på side 9–10, må eleven koble gjennomsnittlig og momentan vekstfart, finne tangenter og klassifisere stasjonære punkter. REA3056 (R1), oppgave 5 på side 10, spør etter et eksakt berøringspunkt for en eksponentialfunksjon og en tangent gjennom origo. Finn originalsettet i Udirs katalog, og les også innledningen. Se felles regler om hjelpemidler.
Tre uttrykk som gjør ulike jobber
Gjennomsnittlig vekstfart fra a til b, med a ≠ b, er (f(b) − f(a))/(b − a). Momentan vekstfart ved a er f′(a). Tangentlinjen i punktet (a, f(a)) er y = f(a) + f′(a)(x − a).
De fire første øvelsene bruker polynomer og passer til 1T. De to siste bruker eksponentialfunksjoner og bevegelsesmodeller og er fordypning for R1. Tolk alltid vekstfartens enhet som y-enhet per x-enhet.
1. Fra sekant til tangent
La f(x) = x³ − 3x + 2. Finn gjennomsnittlig vekstfart fra 2 til 2 + h for h ≠ 0. Bruk h = 0,1 og h = 0,01. Sammenlign med f′(2).
Vis løsning og forklaring
f(2) = 4 og f(2 + h) = 4 + 9h + 6h² + h³. Kvotienten er dermed 9 + 6h + h². For h = 0,1 blir den 9,61; for h = 0,01 blir den 9,0601.
f′(x) = 3x² − 3, så f′(2) = 9. Sekantstigningen nærmer seg tangentstigningen når h går mot 0. Vi setter ikke h = 0 i den opprinnelige brøken; vi tar grensen etter forenkling.
2. Stasjonære punkter og endepunkter
Finn de stasjonære punktene til f(x) = x³ − 3x + 2, og avgjør typen med fortegn. Finn så største og minste verdi på [−2, 2].
Vis løsning og forklaring
f′(x) = 3(x − 1)(x + 1) er null ved x = −1 og x = 1. Fortegnene er +, −, + fra venstre mot høyre. Vi får lokalt toppunkt (−1, 4) og lokalt bunnpunkt (1, 0).
På det lukkede intervallet må også endepunktene sjekkes: f(−2) = 0 og f(2) = 4. Minste verdi er 0, både ved −2 og 1. Største verdi er 4, både ved −1 og 2. Et endepunkt trenger ikke ha derivert lik null for å gi intervallets største eller minste verdi.
3. To parallelle tangenter
Finn alle tangentlinjene til den samme f som har stigningstall 9. Oppgi både berøringspunkt og linjelikning.
Vis løsning og forklaring
Løs f′(a) = 9: 3a² − 3 = 9 gir a = −2 eller a = 2. Punktene er (−2, 0) og (2, 4).
Ved −2: y = 0 + 9(x + 2) = 9x + 18. Ved 2: y = 4 + 9(x − 2) = 9x − 14. Samme stigning gir parallelle linjer, men konstantleddene er forskjellige. Sett inn berøringspunktet i hver linje som kontroll.
4. Vannrett tangent uten topp eller bunn
La g(x) = (x − 1)³ + 2. Vis at (1, 2) er et stasjonært punkt, og avgjør hvilken type det er.
Vis løsning og forklaring
g′(x) = 3(x − 1)². Den er 0 ved 1 og positiv på begge sider. Funksjonen fortsetter å øke gjennom punktet; det er verken topp eller bunn.
g″(x) = 6(x − 1) skifter fortegn ved 1, så krumningen skifter. Punktet er et terrassepunkt: et vendepunkt med vannrett tangent. At f′ = 0, gjør et punkt til en kandidat som må undersøkes, ikke automatisk et ekstremalpunkt.
5. R1: en tangent gjennom et annet punkt
La h(x) = e3x. Finn eksakt berøringspunkt for tangenten som går gjennom origo.
Vis løsning og forklaring
Ved berøringspunktets x-verdi a er h(a) = e3a og h′(a) = 3e3a. Tangenten er y = e3a + 3e3a(x − a).
At den går gjennom (0,0), gir 0 = e3a(1 − 3a). Eksponentialfaktoren er positiv, så a = 1/3. Berøringspunktet er (1/3, e), og linjen er y = 3ex. Origo ligger på tangenten, men ikke på selve grafen. Å sette h(x) = 0 ville svart på et annet spørsmål.
6. R1: når er båten nærmest fyret?
I REA3056, oppgave 7 på side 13, brukes en parameterframstilling til å undersøke avstand. Vår båt følger r(t) = (1 + 2t, 3 + t) for 0 ≤ t ≤ 4. Et fyr ligger i F = (5,6). Koordinatene er i km, og t er timer. Finn minste avstand fra båten til fyret.
Vis løsning og forklaring
Avstandsvektoren er (2t − 4, t − 3). Kvadrert avstand er D(t) = (2t − 4)² + (t − 3)² = 5t² − 22t + 25. Siden kvadratroten er økende, får D og selve avstanden minimum ved samme t.
D′(t) = 10t − 22 er null ved t = 2,2 timer. Fortegnet skifter fra minus til pluss. Endepunktene gir D(0) = 25 og D(4) = 17, mens D(2,2) = 0,8.
Minste avstand er √0,8 ≈ 0,894 km, ikke 0,8 km: D måles i km². Punktet på banen er (5,4; 5,2), der semikolonet skiller koordinatene med desimalkomma. Avstanden er positiv, så båten treffer ikke fyret.
Øv på derivasjon i 1T · Undersøk fortegn og funksjonsdrøfting i R1 · Se en kontinuerlig funksjon som ikke er deriverbar i skjøten.
Kilder og oppdatering
Udirs eksempelsett ble hentet 16. oktober 2026. Oppgavenumre og relevante figurer er kontrollert i originalene. Modellene, illustrasjonene og løsningene her er Basic Mattes egne øvelser, ikke Udirs oppgaver eller offisielle løsningsforslag. Historisk fagmateriale bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz.