S2 · LOGISTISKE MODELLER
Logistiske modeller i S2: forstå parametrene og veksten
En logistisk kurve beskriver vekst som bremser mot et tak. For å sammenligne to kurver må du skille mellom taket, startverdien og hvor raskt overgangen skjer.
Hva viser Udirs eksempelsett?
I REA3062 (S2), oppgave 5 på side 10, skal eleven forklare hvordan C og k i L(t) = C/(1 + e−kt) må endres for at en kurve skal passe med en annen. Det krever en begrunnelse fra grafen. Vi trener først på denne formen, og deretter på en modell med fri startverdi. Finn originalsettet i Udirs katalog, og les også innledningen. Se felles regler om hjelpemidler.
Hva forteller parametrene?
Vi bruker N(t) = C/(1 + a e−kt) med C > 0, a > 0 og k > 0. Da er kurven voksende, ligger mellom 0 og C og nærmer seg C når t vokser. I en bestandsmodell kalles C ofte bæreevnen. Det er modellens antatte tak, ikke et bevist tak i virkeligheten.
| Størrelse | Betydning |
|---|---|
| C | Øvre grenseverdi. N(t) nærmer seg C, men når den ikke ved endelig tid. |
| a | Bestemmer startverdien: N(0) = C/(1 + a). Dermed er a = C/N(0) − 1. |
| k | Styrer hvor raskt overgangen skjer. Når t måles i uker, har k enhet per uke. |
| N′(t) | Faktisk momentan vekstfart, for eksempel personer per uke. |
k er ikke selve vekstfarten N′(t). Derivasjon gir N′(t) = Cak e−kt/(1 + a e−kt)² = kN(t)(1 − N(t)/C). Den relative vekstfarten er N′/N = k(1 − N/C), og den avtar når N øker. For liten N sammenlignet med C ligner utviklingen eksponentiell vekst. Når N er nær taket, bremser den tydelig.
Den spesielle formen a = 1
For L(t) = C/(1 + e−kt) er L(0) = C/2, uansett k. Kurven har vendepunkt ved t = 0. Endrer du C, endres både taket og verdien ved null. Endrer du k med C fast, blir overgangen mer eller mindre samlet rundt t = 0.
1. Sammenlign to kurver med begrunnelse
I vår egen illustrasjon har kurve A tak 1000 og passerer halvparten av taket ved t = 0. Kurve B har tak 1200 og passerer også halvparten ved t = 0. A går fra 10 % til 90 % av sitt tak på omtrent 11 uker; B bruker omtrent 5,5 uker. Begge har formen C/(1 + e−kt).
Hvordan må C og k endres fra A til B? Kan større stigning alene bevise at k er større?
Vis løsning og forklaring
C må økes, fra 1000 til 1200, fordi den øvre grenseverdien er høyere. k må også økes: B bruker omtrent halvparten så lang tid på den samme relative overgangen fra 10 % til 90 %.
For denne formen gir L(t)/C = p tidspunktet t = ln(p/(1 − p))/k. Derfor er varigheten fra 10 % til 90 % 2 ln 9/k. Halv varighet betyr dobbelt k. Illustrasjonen bruker k = 0,4 for A og k = 0,8 for B.
Stigning alene er ikke nok når C også endres: L′(0) = Ck/4. En større C gir i seg selv større stigning selv om k er uendret. Sammenlign derfor kurvene relativt til hvert sitt tak, eller bruk både tak og stigning. Ved t = 0 er A = 500 og B = 600. Tallene er våre egne og skal ikke leses inn i Udirs unummererte figur.
En egen modell for en informasjonskampanje
Vi modellerer antallet personer som har fått informasjon som N(t) = 1000/(1 + 9e−0,4t), der t er uker etter start, t ≥ 0. Dette er en kontinuerlig, forenklet modell for et antall personer. Resultater kan bli desimaltall; tolk og avrund dem i situasjonen.
2. Finn startverdien og størst vekstfart
Hvor mange har fått informasjon ved start? Når vokser antallet raskest, og hvor stor er vekstfarten da? Forklar hvorfor vi ser etter toppen av N′, ikke toppen av N.
Vis løsning og forklaring
Startverdien er N(0) = 1000/(1 + 9) = 100 personer. Bæreevnen i modellen er 1000.
Skriv N′ = kN(1 − N/C). Som funksjon av N er dette en nedovervendt andregradsfunksjon med nullpunkter 0 og C. Den er størst midt mellom dem, ved N = C/2 = 500.
Løs 1000/(1 + 9e−0,4t) = 500: 9e−0,4t = 1, så t = ln 9/0,4 ≈ 5,49 uker. Tidspunktet ligger i intervallet t ≥ 0. Største vekstfart er Ck/4 = 1000 · 0,4/4 = 100 personer per uke.
N fortsetter å øke etter dette tidspunktet, men øker stadig saktere. Den har ingen største verdi ved endelig tid på t ≥ 0; 1000 er en øvre grense som modellen nærmer seg. N′ har derimot en topp.
3. Når har minst 800 personer fått informasjon?
Løs N(t) ≥ 800. Finn både det kontinuerlige tidspunktet og den første hele uken der kravet er oppfylt. Kontroller fortegnet når du løser ulikheten.
Vis løsning og forklaring
Nevneren er positiv. Ulikheten gir 1000 ≥ 800(1 + 9e−0,4t), deretter e−0,4t ≤ 1/36. Den naturlige logaritmen er voksende, så −0,4t ≤ −ln 36. Når vi deler på −0,4, snur ulikheten.
Svaret er t ≥ ln 36/0,4 ≈ 8,96 uker. Den første hele uken som oppfyller kravet, er uke 9. Kontroll: N(8) ≈ 732 og N(9) ≈ 803.
Ved likhet er N nøyaktig 800, så grensepunktet skal være med. At taket er 1000, betyr ikke at modellen når 1000 i en senere, endelig uke. Et krav om N ≥ 1000 ville ikke hatt noen løsning ved endelig t.
Vendepunktet kan ligge før observasjonene starter
4. Er raskest vekst alltid ved et framtidig tidspunkt?
En ny modell er M(t) = 1000/(1 + 0,25e−0,4t), og den skal bare brukes for t ≥ 0. Finn startverdien. Når vokser M raskest i dette intervallet, og hvor stor er vekstfarten da?
Vis løsning og forklaring
Startverdien er M(0) = 1000/1,25 = 800, allerede over halve taket. Den utvidede matematiske kurven passerer 500 ved t = ln(0,25)/0,4 ≈ −3,47. Det ligger utenfor intervallet vårt.
For t ≥ 0 er M > 500 og voksende, mens M′ = 0,4M(1 − M/1000) avtar. Den største vekstfarten i intervallet er derfor ved t = 0: M′(0) = 0,4 · 800 · 0,2 = 64 personer per uke.
Formelen Ck/4 = 100 gjelder toppen på hele kurven, som her ligger ved negativ tid. Den er ikke største vekstfart i det avgrensede intervallet. På et lukket tidsintervall må du kontrollere både aktuelle indre ekstrempunkter og endepunktene.
En modell trenger mer enn en pen S-kurve
Se om dataene faktisk viser avtakende vekst og antyder et tak. Hvis du bare har tidlige målinger, kan det være vanskelig å bestemme C sikkert. Endringer i målgruppe, kapasitet eller tiltak kan endre forutsetningene. Oppgi hvilket tidsrom modellen brukes for, enhetene og hva taket betyr. En modell kan være nyttig selv om den bare beskriver en begrenset periode.
Repeter logistisk vekst og prøv kontrolloppgavene i appen · Øv videre på rekker og rekursjon i S2 · Fortsett med normalfordeling i S2.
Kilder og oppdatering
Kildehenvisningene gjelder Udirs eksempelsett hentet 16. oktober 2026. Oppgavenumre og sider er kontrollert i originalene. Våre modeller, illustrasjoner og øvelser er laget av Basic Matte og er ikke Udirs oppgaver eller offisielle løsningsforslag. Lenket historisk fagmateriale bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz.