S2 · NORMALFORDELING
Normalfordeling i S2: enkeltmåling eller gjennomsnitt?
En enkeltmåling kan variere mye selv om gjennomsnittet av mange målinger er ganske stabilt. I S2 er det avgjørende å velge fordelingen til størrelsen oppgaven faktisk spør om.
Hva viser Udirs eksempelsett?
I REA3062 (S2), oppgave 6 på side 11, skal eleven først finne en andel blant enkeltpakker og deretter vurdere et gjennomsnitt av ti pakker. Valget av standardavvik blir dermed forskjellig. Oppgave 8 på side 14–15 bruker dessuten normalfordelte tilfeldige verdier i et program; større spredning kan gi mer sannsynlighet langt ute i en hale. Finn originalsettet i Udirs katalog, og les også innledningen. Se felles regler om hjelpemidler.
Sannsynlighet er areal under kurven
En normalfordeling bestemmes av forventningsverdien μ og standardavviket σ > 0. Kurven er symmetrisk om μ, og hele arealet under den er 1. Høyden på kurven i ett punkt er en tetthet, ikke en sannsynlighet. For en kontinuerlig normalvariabel er P(X = x) = 0; et avrundet måleresultat representerer derimot et lite intervall.
Standardiser en verdi x med z = (x − μ)/σ. Z har da forventning 0 og standardavvik 1. Vi skriver Φ(z) = P(Z ≤ z) for arealet til venstre. Dermed er P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a), og P(Z > z) = 1 − Φ(z).
| z | Φ(z) |
|---|---|
| −2 | 0,022750 |
| −0,5 | 0,308538 |
| 0 | 0,500000 |
| 1 | 0,841345 |
| 2 | 0,977250 |
Du kan løse øvelsene med disse verdiene og en enkel kalkulator. Dette er oppgitte data i våre øvelser, ikke et løfte om en bestemt tabell eller kalkulatorfunksjon på eksamen.
Vår modell: fyllemengde i små flasker
Vi antar at fyllemengden X er normalfordelt med μ = 200 ml og σ = 8 ml. Flaskene vi sammenligner, antas å være uavhengige og ha samme fordeling. Modellen og tallene er laget for disse øvelsene.
1. Finn andelen i et intervall
Hvor stor andel av flaskene inneholder mellom 196 og 208 ml? Skisser en normalfordeling, marker grensene, og skygglegg det arealet du beregner.
Vis løsning og forklaring
Vi spør om én flaske og bruker derfor σ = 8. Grensene standardiseres til (196 − 200)/8 = −0,5 og (208 − 200)/8 = 1.
Sannsynligheten er Φ(1) − Φ(−0,5) ≈ 0,841345 − 0,308538 = 0,532807, altså omtrent 53,28 %. Skygglegg mellom 196 og 208 på en kurve med sentrum 200. Dette intervallet er ikke symmetrisk rundt sentrum.
68–95–99,7-regelen gir grove anslag for symmetriske intervaller på én, to og tre standardavvik. Den gir ikke dette svaret direkte.
Gjennomsnittet har sin egen fordeling
La X̄ være gjennomsnittet av n uavhengige målinger med samme forventning μ og standardavvik σ. Da er E(X̄) = μ og SD(X̄) = σ/√n. Dette standardavviket kalles også standardfeilen til gjennomsnittet.
Når enkeltmålingene er normalfordelte, er gjennomsnittet eksakt normalfordelt under modellen for alle positive n. Vi trenger ikke vente til n = 30. Hvis enkeltmålingene ikke er normalfordelte, kan sentralgrensesetningen gi en tilnærming for store utvalg under egnede forutsetninger. Ingen fast utvalgsstørrelse garanterer en god tilnærming for alle fordelinger.
2. Én flaske mot et gjennomsnitt av 16
Finn P(X ≤ 196) for én flaske. Finn så P(X̄ ≤ 196) for gjennomsnittet av 16 flasker. Hvilken av kurvene i illustrasjonen øverst skal du bruke i hvert tilfelle?
Vis løsning og forklaring
For én flaske er z = (196 − 200)/8 = −0,5. Dermed er P(X ≤ 196) ≈ 0,308538 = 30,85 %. Bruk den brede kurven med standardavvik 8 ml.
Gjennomsnittet av 16 har standardavvik 8/√16 = 2 ml. Nå er z = (196 − 200)/2 = −2 og P(X̄ ≤ 196) ≈ 0,022750 = 2,28 %. Bruk den smale kurven med standardavvik 2 ml. Begge er sentrert ved 200 ml.
Et gjennomsnitt fire ml under forventningen er mer uvanlig enn én enkeltflaske fire ml under. Vi skal verken bruke 8/16 = 0,5 ml eller flytte nullmodellens sentrum til den observerte verdien 196.
3. Større utvalg, sum og modellforutsetninger
Hva er standardavviket til gjennomsnittet av 64 flasker? Hva er forventning og standardavvik til den samlede fyllemengden i 16 flasker? Forklar hva som kan gå galt dersom flaskene påvirkes av samme uobserverte endring i maskinen og derfor ikke er uavhengige.
Vis løsning og forklaring
For gjennomsnittet av 64 er standardavviket 8/√64 = 1 ml. Fire ganger så mange målinger som før halverer standardfeilen; den blir ikke fire ganger mindre.
For summen av 16 er forventningen 16 · 200 = 3200 ml. Ved uavhengighet summeres variansene: variansen blir 16 · 8², og standardavviket blir 8√16 = 32 ml. Summen og gjennomsnittet er ulike størrelser.
Felles påvirkning kan skape avhengighet. Da kan ikke variansene uten videre summeres som om flaskene var uavhengige, og σ/√n kan undervurdere usikkerheten. Flere målinger retter heller ikke automatisk opp et skjevt utvalg eller en feil modell.
Når du leser en simulering
I Udirs oppgave 8 trekkes nye tilfeldige verdier for hver runde, og et vilkår bestemmer hvilke runder som skal telles. Les først hva én runde betyr, hva som utløser telling, og hva programmet sammenligner til slutt. Flere runder gir vanligvis mindre tilfeldig variasjon i relative frekvenser, men endrer ikke fordelingen til den enkelte trekningen. Lavere forventning betyr heller ikke automatisk mindre sannsynlighet over enhver høy grense: spredningen må med i vurderingen.
Øv videre i normalfordelingen og sentralgrensesetningen · Bruk fordelingen til gjennomsnittet i en hypotesetest.
Kilder og oppdatering
Kildehenvisningene gjelder Udirs eksempelsett hentet 16. oktober 2026. Oppgavenumre og sider er kontrollert i originalene. Våre modeller, illustrasjoner og øvelser er laget av Basic Matte og er ikke Udirs oppgaver eller offisielle løsningsforslag. Lenket historisk fagmateriale bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz.