S1 · SANNSYNLIGHET
Binomisk eller hypergeometrisk i S1: velg og begrunn modellen
Begynn med å beskrive hva som trekkes, og hva X teller. Tallene i kalkulatoren kommer etter at modellen er valgt.
Hva viser Udirs eksempelsett?
I REA3060 (S1) handler oppgave 2 på side 7 om et tilfeldig utvalg uten tilbakelegging. Oppgave 7 på side 13 bruker uavhengige hendelser og «minst én». Oppgave 8 på side 14–15 sammenligner en binomisk og en hypergeometrisk beregning. Finn originalsettet i Udirs katalog, og les også innledningen. Se felles regler om hjelpemidler.
To modeller med ulike vilkår
Binomisk: X teller suksesser i et fast antall n uavhengige forsøk, med samme sannsynlighet p for suksess i hvert forsøk. Da er P(X = k) = C(n,k)pk(1 − p)n−k.
Hypergeometrisk: Vi trekker n av N elementer uten tilbakelegging, og alle utvalg på n elementer er like sannsynlige. M av de N er merket, og X teller merkede i utvalget. Da er P(X = k) = C(M,k)C(N − M,n − k)/C(N,n).
C(n,k) = n!/(k!(n − k)!) er antall uordnede valg av k blant n. For eksempel er C(4,2) = 4 · 3/(2 · 1) = 6. En suksess betyr bare det vi teller, også når hendelsen er uønsket. Uten tilbakelegging avhenger neste sannsynlighet av det som allerede er trukket.
1. Fire uavhengige forsøk
I hvert av fire uavhengige spill er vinnersannsynligheten 0,25. La X telle antall gevinster. Finn P(X = 2) og forventet antall gevinster. Begrunn modellen.
Vis løsning og forklaring
Fast n = 4, uavhengighet og samme p = 0,25 gir en binomisk modell. P(X = 2) = C(4,2) · 0,25² · 0,75² = 0,2109375 ≈ 21,09 %. Faktoren 6 teller plasseringene av de to gevinstene.
E(X) = np = 1. Forventningen er et gjennomsnitt over mange slike serier, ikke et løfte om én gevinst i hver serie.
2. Samme andel, uten tilbakelegging
En eske har 12 kort, hvorav 3 er merket. Fire kort trekkes tilfeldig uten tilbakelegging. Alle utvalg er like sannsynlige. Finn sannsynligheten for nøyaktig to merkede. Sammenlign med oppgave 1.
Vis løsning og forklaring
Bruk hypergeometrisk modell: C(3,2)C(9,2)/C(12,4) = 3 · 36/495 = 12/55 ≈ 21,82 %. Vi velger to av de tre merkede og to av de ni umerkede.
Andelen før første trekk er 3/12 = 0,25, men trekningene er avhengige. Etter ett merket kort er sannsynligheten for merket 2/11; etter ett umerket er den 3/11. Den binomiske beregningen er derfor ikke eksakt her. X kan bare være 0, 1, 2 eller 3: fire merkede er umulig.
3. Minst én og minste antall forsøk
En modell antar at hver pakke har 10 % sannsynlighet for forsinkelse, uavhengig av de andre. Finn sannsynligheten for minst én forsinkelse blant fem pakker. Hva er minste antall pakker som gir en sannsynlighet større enn 80 % for minst én forsinkelse?
Vis løsning og forklaring
Bruk komplementet «ingen»: P(X ≥ 1) = 1 − 0,9⁵ = 0,40951 ≈ 40,95 %. «Minst én» inkluderer to, tre og flere; det er ikke P(X = 1).
Vi trenger 1 − 0,9ⁿ > 0,8, altså 0,9ⁿ < 0,2. Logaritmer gir n > ln(0,2)/ln(0,9) ≈ 15,28. Ulikhetstegnet snur ved deling på den negative ln(0,9).
Minste heltall er 16. Kontroller grensen: n = 15 gir omtrent 79,41 %, n = 16 gir omtrent 81,47 %. Du kan også finne grensen med en systematisk tabell over potenser av 0,9.
4. Når blir modellene nesten like?
Esken har nå 1200 kort, hvorav 300 er merket. Vi trekker fortsatt fire uten tilbakelegging. Sett opp et eksakt uttrykk for P(X = 2), og forklar hvorfor en binomisk modell med p = 0,25 gir et nærliggende svar.
Vis løsning og forklaring
Eksakt får vi C(300,2)C(900,2)/C(1200,4) ≈ 0,2110544. Det binomiske svaret er 0,2109375. Forskjellen er omtrent 0,0001169 i sannsynlighet, eller 0,0117 prosentpoeng.
Fire kort er en liten del av 1200, så andelen merkede endres lite underveis. Avhengigheten er fortsatt der, men en binomisk tilnærming kan være nyttig. Det er størrelsen på utvalget i forhold til populasjonen og kravet til nøyaktighet som må vurderes, ikke bare at N «ser stort ut». Illustrasjonen viser hvorfor forskjellen er mer synlig med 12 kort.
Øv videre på fordelinger i S1 · Se papirsporing av simulering i S1.
Kilder og oppdatering
Udirs eksempelsett ble hentet 16. oktober 2026. Oppgavenumre og relevante figurer er kontrollert i originalene. Modellene, illustrasjonene og løsningene her er Basic Mattes egne øvelser, ikke Udirs oppgaver eller offisielle løsningsforslag. Historisk fagmateriale bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz.