VIDEREGÅENDE · PAPIRØVING
Blandede eksamensoppgaver: velg metode og vis tankegangen
Kan du velge metode når oppgaven ikke forteller deg hvilken regel du skal bruke? Velg faget ditt, løs tre oppgaver på papir og bruk forklaringene til å velge neste økt.
Slik bruker du økten
- Velg fag og finn frem papir. Prøv med egne papirnotater og enkel vitenskapelig kalkulator. Legg bort datamaskinen mens du regner; kode skrives og spores på papir.
- Vis hvorfor metoden passer. Skriv mellomregning og begrunn svaret. Vent med å åpne løsningene til du har forsøkt selv.
- Velg én ting å repetere. Sammenlign med løsningen og bruk lenken til en forklaring. Kom tilbake til en ny oppgave etterpå.
Udir oppgir at del 1 har skrivesaker og linjal, mens del 2 fra våren 2027 tillater papirhjelpemidler og enkel vitenskapelig kalkulator. Denne siden trener del 2. Øv også på Del 1 i faget ditt. Les reglene og kontroller fagkoden din.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Blandet økt i 1P
3 oppgaver · foreslått arbeidstid 30–45 minutter, tilpass selv.
Papirhjelpemidler og enkel vitenskapelig kalkulator.
Fagkode(r): MAT1019.
Åpne oppgaveark (PDF) – 1P A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. En brukt maskin
En maskin koster 8000 kr som ny. En modell antar at verdien synker med 12 % hvert år. Finn verdien etter to år. En elev trekker fra 24 % av nyprisen. Vurder metoden og si noe om modellens begrensninger.
Vis løsning – oppgave 1
V(t) = 8000 · 0,88ᵗ gir V(2) = 6195,20 kr. Prosenten regnes av en ny, lavere verdi hvert år. Å trekke fra 24 % gir 6080 kr og beskriver en annen modell. Den faktiske salgsprisen avhenger også av tilstand og etterspørsel; modellen er en forenkling.
Egenkontroll: Jeg bruker vekstfaktor to ganger og forklarer hvorfor prosentene ikke bare legges sammen.
2. To leieavtaler
Avtale A koster 120 kr fast og 45 kr per time. B koster 75 kr per time uten fastbeløp. Tiden kan være et desimaltall. Finn når avtalene koster like mye. Hvilken velger du for tre timer og for seks timer? Vis hvordan du vet det.
Vis løsning – oppgave 2
A(t) = 120 + 45t og B(t) = 75t for t ≥ 0. Likningen 120 + 45t = 75t gir t = 4 timer, med pris 300 kr. Ved tre timer er B billigst: 225 mot 255 kr. Ved seks timer er A billigst: 390 mot 450 kr. Differansen A − B = 120 − 30t skifter fortegn ved fire timer.
Egenkontroll: Jeg får med fastbeløpet, finner grensen og kontrollerer én tid på hver side.
3. Hvor mange måneder?
En modell starter på 1200 enheter og reduseres med 10 % hver måned. Forklar programmet og finn utskriften uten å kjøre det. Hva ville spørsmålet vært hvis testen brukte > i stedet for >=?
verdi = 1200
maaneder = 0
while verdi >= 800:
verdi = verdi * 0.9
maaneder += 1
print(maaneder)Vis løsning – oppgave 3
Verdiene etter månedene er 1080, 972, 874,8 og 787,32. Programmet skriver 4, første hele måned der verdien er under 800. Testen med > ville funnet første måned med verdi høyst 800. Her blir måneden den samme, fordi ingen av de beregnede verdiene er nøyaktig 800.
Egenkontroll: Jeg sporer begge variablene og skiller «under» fra «høyst».
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Blandet økt i 1P-Y
3 oppgaver · foreslått arbeidstid 30–45 minutter, tilpass selv.
Papirhjelpemidler og enkel vitenskapelig kalkulator.
Fagkode(r): MAT1111, MAT1113, MAT1115, MAT1117, MAT1119, MAT1121, MAT1123, MAT1125, MAT1127 og MAT1129.
Denne økten trener felles metoder i tre oppdiktede arbeidssituasjoner. Den dekker ikke alle programområdene. Bruk yrkesfagguiden og originalsettet for ditt programområde i tillegg.
Åpne oppgaveark (PDF) – 1P-Y A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Materialbehov og innkjøp
Et oppdrag trenger 16,2 kg ferdig materiale. Ved bearbeiding kan 90 % av råmaterialet brukes. Råmaterialet selges i sekker på 7,5 kg til 190 kr per sekk, pluss 120 kr i frakt per bestilling. Hvor mye må bearbeides, hvor mange sekker kjøpes, og hva koster bestillingen?
Vis løsning – oppgave 1
0,90x = 16,2 gir x = 18 kg råmateriale til bearbeiding. 18/7,5 = 2,4, så det må kjøpes 3 sekker. Bestillingen koster 3 · 190 + 120 = 690 kr. Vi kjøper 22,5 kg og kan holde 4,5 kg ubearbeidet til senere. Å legge 10 % til 16,2 gir for lite råmateriale.
Egenkontroll: Jeg regner svinn baklengs og runder antall hele sekker opp før prisen beregnes.
2. En formel med en grense
I en oppdiktet regnemodell er n = 1000v/(πD), der v måles i m/min, D i mm og n i omdreininger/min. Sett v = 30 og D = 12. Er n innenfor modellens maksimum på 700? Finn største v som oppfyller grensen. Dette er formeløving, ikke en instruksjon for en virkelig maskin.
Vis løsning – oppgave 2
n = 30000/(12π) ≈ 795,8 omdreininger/min, over 700. Kravet 1000v/(12π) ≤ 700 gir v ≤ 8,4π ≈ 26,39 m/min. Om v må velges i hele m/min, er største tillatte verdi 26. Faktoren 1000 samordner meter og millimeter.
Egenkontroll: Jeg setter inn med riktige enheter, sammenligner med grensen og løser formelen for v.
3. Et pristilbud
Et oppdiktet tilbud består av 3,5 arbeidstimer à 480 kr og materialer til 320 kr. Alle beløp har samme avgiftsgrunnlag. Kunden får 20 % rabatt bare på materialene. Finn totalen. Et annet tilbud er 1950 kr for samme omfang. Hvilket er billigst, og med hvor mye?
Vis løsning – oppgave 3
Arbeid: 3,5 · 480 = 1680 kr. Materialer: 320 · 0,80 = 256 kr. Totalen er 1936 kr, som er 14 kr billigere enn det andre tilbudet. Rabatten gjelder ikke arbeidstimene. Sammenligningen forutsetter at omfang, kvalitet og avgiftsgrunnlag er likt.
Egenkontroll: Jeg gir rabatt på riktig del av tilbudet og oppgir forutsetningen for sammenligningen.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Blandet økt i 2P
3 oppgaver · foreslått arbeidstid 30–45 minutter, tilpass selv.
Papirhjelpemidler og enkel vitenskapelig kalkulator.
Fagkode(r): MAT1023.
Åpne oppgaveark (PDF) – 2P A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Hva sier tallene?
20 personer oppgir antall bøker de leste: 0 bøker: 2 personer, 1: 4, 2: 6, 3: 5 og 4: 3. Finn gjennomsnitt, median og andelen som leste minst tre bøker. Forklar hvorfor gjennomsnittet kan være et desimaltall.
Vis løsning – oppgave 1
Samlet antall bøker er 0 · 2 + 1 · 4 + 2 · 6 + 3 · 5 + 4 · 3 = 43. Gjennomsnittet er 43/20 = 2,15. Observasjon 10 og 11 er begge 2, så medianen er 2. 8 av 20 leste minst tre: 40 %. Et gjennomsnitt er en beregnet fordeling per person, ikke et krav om at noen leste 2,15 bøker.
Egenkontroll: Jeg bruker frekvensene, finner de to midterste observasjonene og velger riktig nevner i prosentandelen.
2. To betalinger
Et forenklet lån er 24 000 kr. Hver måned beregnes 1 % rente av gjelden før betalingen. Deretter betales 2000 kr i avdrag og 40 kr i gebyr i tillegg til renten. Finn samlet betaling de to første månedene og gjelden etterpå. Dette er en regneøvelse, ikke et lånetilbud.
Vis løsning – oppgave 2
Første rente er 240 kr. Betalingen blir 2280 kr, og gjelden blir 22 000 kr. Andre rente er 220 kr, betalingen 2260 kr, og gjelden 20 000 kr. Bare avdraget reduserer gjelden. Samlet betalt er 4540 kr, hvorav 4000 er avdrag, 460 renter og 80 gebyr.
Egenkontroll: Jeg beregner renter av gjelden før hver betaling og holder gebyr utenfor avdraget.
3. To modeller, én startverdi
En aktivitet har 1000 deltakere ved t = 0. Modell A øker med 120 personer per år. Modell B øker med 10 % per år. Skriv begge funksjonene og sammenlign etter tre år. Kan én startmåling alene avgjøre hvilken modell som passer best?
Vis løsning – oppgave 3
A(t) = 1000 + 120t og B(t) = 1000 · 1,10ᵗ. Etter tre år: 1360 og 1331. A gir 29 flere. Begge passer startmålingen; den alene avgjør ikke modellvalg. Vi trenger flere data og en vurdering av om konstant antallsøkning eller prosentvekst er rimelig.
Egenkontroll: Jeg skiller antallsvekst fra prosentvekst og begrunner behovet for flere data.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Blandet økt i 2P-Y
3 oppgaver · foreslått arbeidstid 30–45 minutter, tilpass selv.
Papirhjelpemidler og enkel vitenskapelig kalkulator.
Fagkode(r): MAT1151.
Åpne oppgaveark (PDF) – 2P-Y A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Tilbake til start?
En vare til 420 kr settes ned med 15 %. Senere økes den nye prisen med 15 %. Finn sluttprisen og den samlede prosentendringen. Vurder påstanden «like stor prosent ned og opp gir startprisen».
Vis løsning – oppgave 1
420 · 0,85 · 1,15 = 410,55 kr. Samlet vekstfaktor er 0,9775, altså 2,25 % nedgang. Prosentøkningen har et lavere beregningsgrunnlag enn den første nedgangen. Like prosenter gir derfor ikke like kronebeløp.
Egenkontroll: Jeg bruker begge vekstfaktorene og sammenligner sluttverdien med den opprinnelige verdien.
2. Når må tanken fylles?
En modell for vann i en tank er V(t) = 1500 − 75t liter, der t er døgn siden den var full. Modellen gjelder til tanken er tom. Finn gyldig tidsintervall og når innholdet er under 300 liter. Hva er første hele døgn med mindre enn 300 liter?
Vis løsning – oppgave 2
V = 0 ved t = 20, så det fysiske intervallet er 0 ≤ t ≤ 20. 1500 − 75t < 300 gir t > 16. Innenfor modellen er svaret 16 < t ≤ 20. Første hele døgn er 17, med 225 liter. Ved døgn 16 er innholdet nøyaktig 300, ikke under.
Egenkontroll: Jeg tar med modellens gyldighetsområde og skiller en streng ulikhet fra likhet.
3. En uvanlig måling
Sju reisetider i minutter er 14, 16, 18, 20, 22, 24 og 96. Finn median og gjennomsnitt. Den siste målingen viser seg å være feilskrevet og rettes til 26. Hva endres? Begrunn hvilket mål som er mest påvirket av den høye verdien.
Vis løsning – oppgave 3
Før retting er summen 210, så gjennomsnittet er 30 minutter. Medianen er 20. Etter retting er summen 140, og både gjennomsnitt og median er 20 minutter. Gjennomsnittet påvirkes av alle tallverdiene; medianen bestemmes av plasseringen i sortert rekkefølge. En høy måling skal undersøkes, ikke automatisk fjernes.
Egenkontroll: Jeg regner begge mål før og etter rettingen og forklarer hva de reagerer på.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Blandet økt i 1T
3 oppgaver · foreslått arbeidstid 30–45 minutter, tilpass selv.
Papirhjelpemidler og enkel vitenskapelig kalkulator.
Fagkode(r): MAT1021.
Åpne oppgaveark (PDF) – 1T A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. En funksjon, flere spørsmål
La f(x) = x² − 4x + 3. Finn nullpunktene og bunnpunktet. Finn tangenten ved x = 0. Vis hvordan uttrykket ditt for tangenten kan kontrolleres.
Vis løsning – oppgave 1
f(x) = (x − 1)(x − 3) gir x = 1 og 3. f′(x) = 2x − 4 skifter fra minus til pluss ved 2, og f(2) = −1: bunnpunkt (2, −1). Ved x = 0 er f = 3 og f′ = −4, så tangenten er y = −4x + 3. Den har riktig stigning og går gjennom (0,3).
Egenkontroll: Jeg skiller nullpunkt, ekstremalpunkt og tangent og viser en kontroll for hvert resultat.
2. En trekant som ikke er rettvinklet
To sider er 5 cm og 7 cm, og vinkelen mellom dem er 60°. Finn arealet og den tredje siden. En elev bruker 5² + 7² som kvadratet av den tredje siden. Forklar hvorfor det ikke passer.
Vis løsning – oppgave 2
A = ½ · 5 · 7 · sin 60° = 35√3/4 ≈ 15,16 cm². Cosinussetningen gir c² = 25 + 49 − 70 cos 60° = 39, så c = √39 ≈ 6,24 cm. Den oppgitte vinkelen er ikke 90°, så leddet −2ab cos C kan ikke utelates.
Egenkontroll: Jeg velger en metode som passer den oppgitte vinkelen og bruker cm² for areal.
3. Bygg og tell
Figur n består av n rader med n + 2 steiner i hver. Figurene bygges hver for seg. Finn et uttrykk for antallet i figur n. Skriv en algoritme og et program som summerer antallet i de fem første figurene, og kontroller resultatet.
Vis løsning – oppgave 3
Hver figur bruker n(n + 2) steiner. Start en sum på null, gå gjennom n = 1 til 5, og legg til antallet for hver figur.
total = 0
for n in range(1, 6):
total += n * (n + 2)
print(total)3 + 8 + 15 + 24 + 35 = 85. range(1, 6) tar med 5. Femte figur alene har 35, ikke 85, steiner.
Egenkontroll: Jeg begrunner formelen med rader og kolonner og skiller siste ledd fra summen.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Blandet økt i R1
3 oppgaver · foreslått arbeidstid 30–45 minutter, tilpass selv.
Papirhjelpemidler og enkel vitenskapelig kalkulator.
Fagkode(r): REA3056.
Åpne oppgaveark (PDF) – R1 A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. En bestand i vekst
En modell er N(t) = 400e0,08t, med t i år og N i individer. Finn eksakt og tilnærmet når modellen når 800 individer. Finn vekstfarten da. Sammenlign med en modell som øker med 32 individer hvert år.
Vis løsning – oppgave 1
e0,08t = 2 gir t = ln 2/0,08 ≈ 8,66 år. N′ = 0,08N, så vekstfarten ved N = 800 er 64 individer per år. Den lineære modellen 400 + 32t starter med samme vekstfart, men når 800 først etter 12,5 år. Eksponentialmodellens vekstfart øker med bestanden.
Egenkontroll: Jeg bruker logaritme til tidspunktet og derivert til vekstfarten, med riktige enheter.
2. Nærmest et fast punkt
En posisjon er r(t) = (2 + t, 1 + 2t), 0 ≤ t ≤ 5. Et fast punkt er F = (6,4). Koordinater er i km og t i timer. Finn tidspunkt og minste avstand. Vis at svaret gjelder hele intervallet.
Vis løsning – oppgave 2
Kvadrert avstand er D(t) = (t − 4)² + (2t − 3)² = 5t² − 20t + 25. D′ = 10t − 20 er null ved t = 2 timer, og fortegnet skifter fra minus til pluss. D(0) = 25, D(2) = 5 og D(5) = 50. Minste avstand er √5 ≈ 2,24 km, ikke 5 km. Kvadratroten er økende, så vi kan minimere D.
Egenkontroll: Jeg lager en avstandsmodell, kontrollerer endepunktene og tar kvadratroten til slutt.
3. Et program som søker
Skriv et program som prøver 0, 0,1, 0,2, … og finner første verdi x der x² ≥ 2. Bruk en heltallsteller for å lage x-verdiene. Forklar hvorfor programmet stopper, hva det skriver, og hvordan du får et finere søk.
Vis løsning – oppgave 3
k = 0
while (k / 10) ** 2 < 2:
k += 1
print(k / 10)Utskriften er 1,5: 1,4² = 1,96 og 1,5² = 2,25. Kvadratet vokser for x ≥ 0, og vil passere 2. Dermed er 1,4 < √2 ≤ 1,5. Bruk 100 i begge divisjonene for hundredeler; da blir første verdi 1,42. Svaret er en øvre tilnærming, ikke den eksakte roten.
Egenkontroll: Jeg skriver en fungerende løkke og beskriver søkets oppløsning og hva resultatet betyr.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Blandet økt i S1
3 oppgaver · foreslått arbeidstid 30–45 minutter, tilpass selv.
Papirhjelpemidler og enkel vitenskapelig kalkulator.
Fagkode(r): REA3060.
Åpne oppgaveark (PDF) – S1 A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Tre kort
Ti kort ligger i en eske; fire er merket. Tre trekkes tilfeldig uten tilbakelegging, og alle utvalg er like sannsynlige. Finn sannsynligheten for nøyaktig to merkede. Begrunn modellen og forklar hvorfor en binomisk modell ikke er eksakt her.
Vis løsning – oppgave 1
Hypergeometrisk modell gir C(4,2)C(6,1)/C(10,3) = 6 · 6/120 = 0,30. De to merkede velges blant fire, og det umerkede blant seks. Trekkene er avhengige: etter et merket kort er andelen merkede 3/9, ikke 4/10. Fast sannsynlighet og uavhengighet mangler.
Egenkontroll: Jeg begrunner modellvalget og teller både gunstige utvalg og alle mulige utvalg.
2. En ny timesats
Leie koster 50 kr per time for de første tre timene og 30 kr per ekstra time, maksimalt åtte timer. Det betales proporsjonalt med tiden. Skriv totalprisen P(t) med delt forskrift, finn P(5), og undersøk om prisen er kontinuerlig ved tre timer.
Vis løsning – oppgave 2
For 0 ≤ t ≤ 3: P(t) = 50t. For 3 < t ≤ 8: P(t) = 150 + 30(t − 3) = 30t + 60. P(5) = 210 kr. P(3), venstregrensen og høyregrensen er alle 150, så prisen er kontinuerlig. Å bruke 30t etter tre timer ville gitt et hopp og en annen prisregel.
Egenkontroll: Jeg tar med allerede opptjent pris og sammenligner begge sider i skjøten.
3. Beregn og simuler
Fire leveranser har hver 20 % sannsynlighet for forsinkelse, uavhengig av hverandre. Finn sannsynligheten for minst én forsinkelse. Skriv et program som anslår samme sannsynlighet med 1000 simulerte grupper på fire. Forklar hvorfor utskriften ikke alltid blir lik den eksakte verdien.
Vis løsning – oppgave 3
Komplementet gir 1 − 0,8⁴ = 0,5904. Ett mulig program:
from random import random
treff = 0
for forsok in range(1000):
forsinket = False
for levering in range(4):
if random() < 0.2:
forsinket = True
if forsinket:
treff += 1
print(treff / 1000)Hver gruppe teller høyst én gang. Simuleringen gir en tilfeldig relativ frekvens som vanligvis ligger nær 0,5904; den har ikke én bestemt fasitverdi. Flere forsøk reduserer typisk variasjonen, men gir ingen garanti for et bestemt avvik.
Egenkontroll: Jeg teller minst én per gruppe, nullstiller gruppens tilstand og skiller modellverdi fra simulering.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Blandet økt i S2
3 oppgaver · foreslått arbeidstid 30–45 minutter, tilpass selv.
Papirhjelpemidler og enkel vitenskapelig kalkulator.
Fagkode(r): REA3062.
Åpne oppgaveark (PDF) – S2 A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Er gjennomsnittet for lavt?
Uavhengige målinger er normalfordelte med kjent standardavvik 12 g. Vi tester H₀: μ = 100 g mot H₁: μ < 100 g ved 5 % signifikansnivå. Et tilfeldig utvalg på 36 har gjennomsnitt 96 g. Bruk Φ(−2) ≈ 0,0228. Gjennomfør testen og forklar konklusjonen.
Vis løsning – oppgave 1
Under H₀ har gjennomsnittet forventning 100 og standardfeil 12/√36 = 2 g. Testobservatoren er z = (96 − 100)/2 = −2. Nedre p-verdi er 0,0228 < 0,05, så vi forkaster H₀. Dataene gir støtte til lavere forventning under modellens forutsetninger. P-verdien er ikke sannsynligheten for at H₀ er sann.
Egenkontroll: Jeg bruker standardfeilen til gjennomsnittet, riktig hale og en forsiktig konklusjon.
2. Hvor mange bør produseres?
En modell gir inntekt R(x) = 120x − 0,5x² kr og kostnad K(x) = 20x + 600 kr for 0 ≤ x ≤ 150. Finn antallet som gir størst overskudd. Kontroller intervallet, og knytt svaret til grenseinntekt og grensekostnad.
Vis løsning – oppgave 2
O(x) = R − K = 100x − 0,5x² − 600. O′ = 100 − x skifter fra pluss til minus ved x = 100. Overskuddet er 4400 kr; endepunktene gir O(0) = −600 og O(150) = 3150. Her er R′(100) = 20 = K′(100). Svaret er også et helt antall. Lik grenseinntekt og grensekostnad er en kandidatbetingelse; fortegn og grenser må undersøkes.
Egenkontroll: Jeg maksimerer overskudd, ikke inntekt, og begrunner at kandidaten faktisk gir maksimum.
3. En verdi som nærmer seg et tak
a₀ = 100 og aₙ₊₁ = 0,8aₙ + 40. Finn de tre neste leddene. Finn et mulig grensenivå og begrunn at følgen faktisk nærmer seg dette nivået. Et program som bare viser noen ledd er ikke et bevis.
Vis løsning – oppgave 3
a₁ = 120, a₂ = 136, a₃ = 148,8. L = 0,8L + 40 gir kandidaten L = 200. Sett bₙ = 200 − aₙ. Da er bₙ₊₁ = 0,8bₙ og b₀ = 100, altså bₙ = 100 · 0,8ⁿ → 0. Dermed er aₙ = 200 − 100 · 0,8ⁿ → 200. Dette gjelder følgen; summen av alle a-leddene er ikke 200.
Egenkontroll: Jeg skiller ledd fra sum og begrunner konvergensen, ikke bare finner et fikspunkt.
EGNE OPPGAVER · PAPIRØKT
Blandet økt i R2
3 oppgaver · foreslått arbeidstid 30–45 minutter, tilpass selv.
Papirhjelpemidler og enkel vitenskapelig kalkulator.
Fagkode(r): REA3058.
Åpne oppgaveark (PDF) – R2 A4 · uten løsninger · bruk eget kladdeark
1. Hvor mye vann?
Vann strømmer inn med q(t) = 4 + 2sin(πt/6) liter per minutt, 0 ≤ t ≤ 12. Finn største tilførsel per minutt og når den oppstår. Finn samlet tilført volum. Bruk radianer og forklar enhetene.
Vis løsning – oppgave 1
Sinus er 1 ved t = 3 minutter, så største tilførsel er 6 L/min. Intervallet dekker én periode. Sinusleddet integrerer til 0, og ∫₀¹²q(t)dt = 48 liter. En antiderivert er 4t − (12/π)cos(πt/6). Raten er positiv hele tiden, så integralet er samlet tilført vann.
Egenkontroll: Jeg skiller en rate fra et samlet volum og bruker periode og integral riktig.
2. Posisjon og fart
Et objekt har posisjon r(t) = (t, t², 2t), 0 ≤ t ≤ 2, målt i meter med t i sekunder. Finn posisjon, fartsvektor og banefart ved t = 1. Er lengden av posisjonsvektoren da det samme som banefarten?
Vis løsning – oppgave 2
Posisjonen er (1,1,2) m. Derivasjon gir r′(t) = (1,2t,2), så fartsvektoren ved 1 er (1,2,2) m/s. Banefarten er √(1 + 4 + 4) = 3 m/s. Posisjonsvektorens lengde er √6 m og måler avstand fra origo. Det er en annen størrelse med en annen enhet.
Egenkontroll: Jeg deriverer før jeg finner banefarten og skiller vektor, lengde og enhet.
3. Volum og numerisk kontroll
Området mellom r(x) = √(1 + x) og x-aksen, 0 ≤ x ≤ 3, roteres om x-aksen. Koordinater er i cm. Finn volumet eksakt. Skriv et program som bruker tre like brede skiver med radius i hvert intervalls midtpunkt. Forklar hvorfor akkurat denne tilnærmingen gir eksakt volum.
Vis løsning – oppgave 3
V = π∫₀³(1 + x)dx = 7,5π ≈ 23,56 cm³.
from math import pi
n = 3
dx = 3 / n
volum = 0
for i in range(n):
x = (i + 0.5) * dx
radius = (1 + x) ** 0.5
volum += pi * radius ** 2 * dx
print(volum)Tverrsnittsarealet π(1 + x) er lineært i x. På hvert intervall er middelverdien av en lineær funksjon lik midtpunktsverdien, så midtpunktssummen er eksakt matematisk. Maskinberegningen kan ha avrundingsfeil. Dette gjelder ikke generelt for krumme tverrsnittsarealer.
Egenkontroll: Jeg kvadrerer radiusen, får med skivetykkelsen og begrunner hvorfor kontrollen treffer akkurat her.
Kilder og oppdatering
Hjelpemiddelreglene er kontrollert hos Udir 16. oktober 2026. Temaene bygger på kartleggingen av de 18 eksempelsettene for våren 2027. Alle tall, oppgaver og løsninger på denne siden er våre egne. Historisk fagmateriale bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz.