Basic Matte › Leksjoner › R1 › Derivasjon del 2

R1

Derivasjon del 2

I X.1 lærte du å derivere – nå lærer du hva den deriverte kan FORTELLE. Fortegnet til f′(x)f'(x) er et kart over hele grafen: hvor den stiger, hvor den synker, og nøyaktig hvor toppene og bunnene ligger. Pluss: potensregelen slippes løs på røtter og brøker.

Hva skal du lære?

Du lærer: å derivere x\sqrt{x} og 1xn\frac{1}{x^n}, sum-regelen – og å finne og KLASSIFISERE ekstremalpunkter med fortegnslinje.
Forkunnskaper: derivasjonsreglene (X.1), brøkeksponenter (I.3) og fortegnslinjer (U.3/K.3).

Potensregelen på røtter

x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2} (I.3!) – og da virker potensregelen rett fram:

f(x)=x=x12  ⇒  f′(x)=12x−12=12xf(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \;\Rightarrow\; f'(x) = \tfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
Gang med eksponenten, senk den med 1: 12−1=−12\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}. Negativ eksponent = under brøkstreken.
f(x)=x3=x13  ⇒  f′(x)=13x−23=13x23f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \;\Rightarrow\; f'(x) = \tfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}
Samme dans for alle røtter. f′(x)=12xf'(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} er så vanlig at den er verdt å huske utenat.

Negative eksponenter og sum-regelen

×Flere ledd? Deriver LEDD FOR LEDD (sum-regelen). Brøker som 1x2\frac{1}{x^2}: skriv om til x−2x^{-2} først.
f(x)=8x3+x2−2x+1x2+4  ⇒  f′(x)=24x2+2x−2−2x3f(x) = 8x^3 + x^2 - 2x + \frac{1}{x^2} + 4 \;\Rightarrow\; f'(x) = 24x^2 + 2x - 2 - \frac{2}{x^3}
1x2=x−2→−2x−3=−2x3\frac{1}{x^2} = x^{-2} \to -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}. Og konstanten 4 forsvinner som alltid.
Vanlig feil
x−2x^{-2} derivert til −2x−1-2x^{-1} – å senke eksponenten OPPOVER mot null.
Senk betyr MINUS ÉN, også for negative: −2−1=−3-2 - 1 = -3. Altså −2x−3-2x^{-3}.

Fortsett i Basic Matte

Resten av leksjonen – alle stegene, «prøv selv»-oppgavene og quizen – ligger i Basic Matte. Gratis i åpen pilot.

Åpne «Derivasjon del 2»

Forkunnskaper

Neste leksjon

Leksjonen bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz. Kompetansemål: Derivere røtter og negative potenser, og bruke fortegnslinja til den deriverte til å finne ekstremalpunkter (LK20, R1/1T).