Basic Matte › Leksjoner › R1 › Derivasjon del 3

R1

Derivasjon del 3

Hvordan deriverer du x2⋅(x3+5)x^2\cdot(x^3+5)? Fristende å bare derivere hver faktor og gange – men det blir FEIL. Produkter og brøker har egne regler, og de er blant R1s mest brukte formler. Gode nyheter: de står i formelsamlingen – jobben din er å bruke dem ryddig.

Hva skal du lære?

Du lærer: produktregelen u′v+uv′u'v + uv' og brøkregelen u′v−uv′v2\frac{u'v - uv'}{v^2} – med arbeidsrutinen som gjør dem trygge.
Forkunnskaper: derivasjonsreglene fra X.1 og X.2 skal sitte som spikret.

Produktregelen

÷f(x)=u(x)⋅v(x)  ⇒  f′(x)=u′⋅v+u⋅v′f(x) = u(x)\cdot v(x) \;\Rightarrow\; f'(x) = u'\cdot v + u\cdot v' — deriver én faktor om gangen, og legg sammen.
f(x)=x2(x3+5):    u=x2,u′=2x,    v=x3+5,v′=3x2f(x) = x^2(x^3+5): \;\; u = x^2, u' = 2x, \;\; v = x^3+5, v' = 3x^2
ARBEIDSRUTINEN: skriv opp u, u', v, v' FØR du setter inn. Fire små linjer som forebygger alt rot.
f′(x)=2x(x3+5)+x2⋅3x2=2x4+10x+3x4=5x4+10xf'(x) = 2x(x^3+5) + x^2\cdot 3x^2 = 2x^4 + 10x + 3x^4 = 5x^4 + 10x
Sett inn i formelen, gang ut, trekk sammen.

Produktregelen med minus i sving

f(x)=4x3(5x4−7x):    f′(x)=12x2(5x4−7x)+(20x3−7)⋅4x3=140x6−112x3f(x) = 4x^3(5x^4-7x): \;\; f'(x) = 12x^2(5x^4-7x) + (20x^3-7)\cdot 4x^3 = 140x^6 - 112x^3
60x6−84x3+80x6−28x360x^6 - 84x^3 + 80x^6 - 28x^3. Parentesene rundt hver faktor er IKKE pynt – de bærer fortegnene.
Vanlig feil
«Snarveien» f′(x)=u′⋅v′f'(x) = u'\cdot v' – å derivere begge faktorene og gange dem.
Test den på x⋅x=x2x\cdot x = x^2: snarveien gir 1⋅1=11\cdot 1 = 1, men fasit er 2x2x! Produktregelen med pluss i midten er eneste vei.

Fortsett i Basic Matte

Resten av leksjonen – alle stegene, «prøv selv»-oppgavene og quizen – ligger i Basic Matte. Gratis i åpen pilot.

Åpne «Derivasjon del 3»

Forkunnskaper

Neste leksjon

Leksjonen bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz. Kompetansemål: Bruke produktregelen og brøkregelen til å derivere sammensatte uttrykk (LK20, R1).