Basic Matte › Leksjoner › R1 › Derivasjon del 4 – kjerneregelen

Derivasjon del 4 – kjerneregelen

Hvordan deriverer du $\sqrt{x^2-7}$ ? Det er en funksjon INNI en funksjon – som en matrjosjka-dukke: ytterst en rot, innerst et polynom. Kjerneregelen åpner dukkene én etter én. Den er det siste derivasjonsverktøyet i R1 – og kanskje det du får mest bruk for videre.

Hva skal du lære?

Du lærer: å finne kjernen, kjerneregelen

f'(x) = f'(u)\cdot u'

– på både røtter og potenser.

Forkunnskaper: X.1–X.3. Spesielt

\sqrt{u} \to \frac{1}{2\sqrt{u}}

fra X.2.

Hva er en kjerne?

Se på $f(x) = \sqrt{x^2-7}$ . Skal du regne $f(4)$ , gjør du to operasjoner: FØRST kjernen $u = 4^2-7 = 9$ , SÅ det ytre $\sqrt{9} = 3$ . Funksjonen er sammensatt: kjerne ( $x^2-7$ ) inni en ytre funksjon ( $\sqrt{u}$ ).

Kjerneregelen

f'(x) = f'(u)\cdot u'

— deriver det YTRE (med kjernen urørt), og GANG med kjernens deriverte.

f(x) = \sqrt{x^2+1}: \;\; u = x^2+1, \; u' = 2x; \quad f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

Ytre:

\sqrt{u} \to \frac{1}{2\sqrt{u}}

. Gang med

u' = 2x

, sett kjernen tilbake, forkort 2 mot 2.

Tenk «utenfra og inn»: skrell av ett lag, gang med det neste lagets deriverte. Matrjosjka-metoden!

Fortsett i Basic Matte

Resten av leksjonen – alle stegene, «prøv selv»-oppgavene og quizen – ligger i Basic Matte. Gratis i åpen pilot.

Åpne «Derivasjon del 4 – kjerneregelen»

Forkunnskaper

Derivasjon del 3

Neste leksjon

Praktisk bruk av derivasjon

Leksjonen bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz. Kompetansemål: Bruke kjerneregelen til å derivere sammensatte funksjoner (LK20, R1).