Kontinuitet og deriverbarhet

Hva skal du lære?

Definisjonen

La a være et indre punkt i et intervall der f er definert. Kontinuitet i a betyr at begge ensidige grenser finnes som samme endelige verdi, og at denne verdien er f(a).

Det kan svikte ved at funksjonsverdien mangler, at den endelige grensen mangler, eller at de to er ulike. Ved endepunktet av et definisjonsintervall bruker vi bare grensen fra innsiden av intervallet. For eksempel er √x kontinuerlig i 0 på [0,∞), fordi høyregrensen er 0 = f(0).

Bruddtypene

Et hull: $g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ er definert for x ≠ 2. Der er g(x) = x+2. Den opprinnelige funksjonen er kontinuerlig på begge sider av 2, men er ikke definert i selve punktet.

Ubegrenset oppførsel: For 1/x går venstresiden mot −∞ og høyresiden mot +∞ ved 0. Det finnes ingen felles endelig grense. Svingning: sin(1/x) svinger mellom −1 og 1 stadig nærmere 0 uten å få en grense. Hull, hopp og asymptoter er derfor ikke en uttømmende liste.