Basic Matte › Leksjoner › R1 › Integrasjon

Integrasjon

Derivasjon beskriver endring. Integrasjon summerer bidrag over et intervall. Analysens fundamentalteorem kobler dem sammen: vi kan regne bestemte integraler ved å finne en antiderivert.

Inngår også i: S2, R2

Hva skal du lære?

Du lærer: antiderivasjon med integrasjonskonstant, bestemte integraler og forskjellen mellom fortegnet integral og geometrisk areal.

Forkunnskaper: derivasjon (X.1–X.2) MÅ sitte – integrasjon er derivasjon speilvendt.

Arealet under en graf

Når

a<b

f(x)\ge0

på intervallet, er

\int_a^b f(x)\,dx

lik det geometriske arealet mellom grafen og x-aksen.

Se på $f(x)=x$ for $x\ge0$ . Arealet under grafen fra 0 til x er en trekant med grunnlinje og høyde x: $A(x)=x^2/2$ . Derivasjon gir $A'(x)=x=f(x)$ . I dette eksemplet er arealfunksjonen en antiderivert.

÷Når f er kontinuerlig og

A(x)=\int_a^x f(t)\,dt

, har vi

A'(x)=f(x)

i det indre intervallet. A summerer fortegnede bidrag; den er geometrisk areal når f er ikke-negativ og x ≥ a.

Det ubestemte integralet – og C

$\int 5\,dx$ spør: hva gir 5 når det deriveres? Svar: $5x$ . Men også $5x+2$ , $5x-17$ , … – konstanter dør jo under derivasjon! Derfor:

\int 5\,dx = 5x + C

C er integrasjonskonstanten – den ukjente konstanten som forsvant. ALLTID med i ubestemte integraler.

Vanlig feil

Å glemme + C: «

\int x\,dx = \frac{x^2}{2}

, ferdig».

Uten C har du bare funnet én antiderivert. Hele familien på et intervall er

x^2/2+C

, der C kan være ethvert reelt tall.

Fortsett i Basic Matte

Resten av leksjonen – alle stegene, «prøv selv»-oppgavene og quizen – ligger i Basic Matte. Gratis i åpen pilot.

Åpne «Integrasjon»

Forkunnskaper

Derivasjon del 2

Leksjonen bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz. Kompetansemål: Forstå integralet som areal og antiderivert, og beregne bestemte og ubestemte integraler (LK20, R1).