Basic Matte › Leksjoner › R1 › Integrasjon

Integrasjon

Rundt 1700 oppdaget Leibniz og Newton – uavhengig av hverandre – matematikkhistoriens vakreste sammenheng: arealet under en graf og derivasjon er to sider av samme sak. Å integrere er å derivere BAKLENGS. Med det verktøyet kan du regne arealer ingen formel fra geometrien når.

Hva skal du lære?

Du lærer: integralet som areal, antiderivasjon, reglene for ubestemte integraler – og å beregne bestemte integraler med grenser.

Forkunnskaper: derivasjon (X.1–X.2) MÅ sitte – integrasjon er derivasjon speilvendt.

Arealet under en graf

Det bestemte integralet

\int_a^b f(x)\,dx

ER arealet mellom grafen og x-aksen.

Se på $f(x) = x$ : arealet under grafen fra 0 til x er en trekant med grunnlinje og høyde x, altså $A(x) = \frac{x^2}{2}$ . Og nå – deriver arealfunksjonen: $A'(x) = x = f(x)$ . Arealets deriverte er funksjonen selv!

A'(x) = f(x)

: arealfunksjonen er en ANTIDERIVERT av f. Derfor integrerer vi ved å spørre «hva derivert gir dette?»

Det ubestemte integralet – og C

$\int 5\,dx$ spør: hva gir 5 når det deriveres? Svar: $5x$ . Men også $5x+2$ , $5x-17$ , … – konstanter dør jo under derivasjon! Derfor:

\int 5\,dx = 5x + C

C er integrasjonskonstanten – den ukjente konstanten som forsvant. ALLTID med i ubestemte integraler.

Vanlig feil

Å glemme + C: «

\int x\,dx = \frac{x^2}{2}

, ferdig».

Uten C har du bare funnet ÉN antiderivert av uendelig mange.

\frac{x^2}{2} + C

– de tre tegnene er gratis poeng på eksamen.

Fortsett i Basic Matte

Resten av leksjonen – alle stegene, «prøv selv»-oppgavene og quizen – ligger i Basic Matte. Gratis i åpen pilot.

Åpne «Integrasjon»

Forkunnskaper

Derivasjon del 2

Leksjonen bygger på Basic Matte av Sverre H. Bautz. Kompetansemål: Forstå integralet som areal og antiderivert, og beregne bestemte og ubestemte integraler (LK20, R1).