Basic MatteÅpne appen

Grenseverdier og derivasjon

11 regler fra Regelbok – R1.

Grenseverdi

Sett inn x = a når det går. 0/0 → faktoriser og forkort. Tall/0 → ingen grenseverdi (Ø).

lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a} f(x)
Tren på dette i appen →

Grenser mot uendelig

Del alle ledd på høyeste potens av x.

lim⁡x→∞ax=0\lim_{x\to\infty}\frac{a}{x} = 0
grenseverdienx vokser →
Tren på dette i appen →

Definisjonen av den deriverte

Sekanten blir tangent når Δx går mot 0.

f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
PsekantertangentΔx krymper → sekanten blir tangenten
Tren på dette i appen →

Derivasjonsreglene

Ledd for ledd. Konstanter forsvinner.

k→0,    kx→k,    kxr→krxr−1k \to 0, \;\; kx \to k, \;\; kx^r \to krx^{r-1}
Tren på dette i appen →

Vannrett tangent

Topp- og bunnpunkter ligger der f'(x) = 0.

Tren på dette i appen →

Derivere rot og 1/xⁿ

x→12x,x−n→−nx−n−1\sqrt{x} \to \tfrac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad x^{-n} \to -nx^{-n-1}
Tren på dette i appen →

Fortegnslinja til f′

+ stiger, − synker. + → −: toppunkt. − → +: bunnpunkt. y-verdien hentes fra f!

023x(x − 2)f'(x)⛰️ topp🏞️ bunnf' skifter + → −: toppunkt. − → +: bunnpunkt.
Tren på dette i appen →

Produktregelen

(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
Tren på dette i appen →

Brøkregelen

(uv)′=u′v−uv′v2\Big(\tfrac{u}{v}\Big)' = \tfrac{u'v - uv'}{v^2}
Tren på dette i appen →

Kjerneregelen

Deriver ytterst, gang med kjernens deriverte.

f′(x)=f′(u)⋅u′f'(x) = f'(u)\cdot u'
Tren på dette i appen →

Optimering

Uttrykk med én variabel (bruk bindingen) → deriver → f′ = 0 → fortegnssjekk → svar med enhet.

HUSVEGGEN (gratis side!)xx8 − 2x8 m netting: A(x) = x · (8 − 2x) — hvilken x gir størst areal?
Tren på dette i appen →